数学思想与方法综合复习资料(3)

答：

①先从[x ]的定义入手估计x 的取值范围，然后划分成若干小区间求解。

根据[x ]的定义，由原方程得

[]22-=≥x x x ； 1分 即 022

≤--x x 。………………………（1） 1分

解不等式得 21≤≤-x 。………………（2） 1分

②由于原方程的解包含在（1）的解中，因此可将（2）划分为四个小区间来求解： (I)当01<≤-x 时，原方程为

；，，解得112)1(2-===--x x x 2分

∵1)01-=∴-?x ，舍去；，［１。 1分 (II)当10<≤x 时，原方程为

；，解得2202±==-x x 1分 ∵原方程无解。，舍去；，１∴?±

)0[2 2分

11 (III)当2<≤x １时，原方程为

；，解得3212±==-x x 1分 ∵。

，舍去；，3)21[3=∴?-x 1分 (IV)当2=x 时，显然满足原方程。 2分 ③所以，原方程的解为231321==

-=x x x ，，。 2分 2．简述数学模型在数学教学中的作用。

答： 数学模型在数学教学中的作用主要有三方面：①其一是构造数学模型解决实际问题。求解某些应用问题时，常常需要我们根据实际情况创设条件构造数学模型，然后通过求解数学模型的解获得实际问题的解。②其二是数学模型的应用。如果根据问题的条件可以判断所求结果具有某种确定的数学结构，那么可直接应用该数学模型解题。③其三是数学模型之间的相互转换。某些不同的数学模型之间具有同构关系，我们往往可以通过将一种模型转换成另一种模型，使问题的求解更加容易。

（4）完整答出①②③，得15分。

一、填空题（每题5分，共25分）

1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解）。

3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。

5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。

7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。

9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。

二、判断题（每题5分，共25分。在括号里填上是或否）

1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。 （是

2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。 （否）

3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。 （否）

4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。 （是）

5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。 （否）

三、简答题（每题10分，共50分）

1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？

12 答：①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

②另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。

③所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？

答：①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。《九章算术》将246个题目归结为九类，即九种不同的数学模型，分列为九章。②它在每一章中所设置的问题，都是从大量的实际问题中选择具有典型意义的现实原型，然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。其中有些章就是专门探讨某种数学模型的应用，③例如“勾股”、“方程”等章。这在世界数学史上是最早的。因此，我们说最早使用数学模型方法的是中国人。

3．什么是类比猜想？并举一个例子说明。

答：①人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比猜想。

②例如，分式与分数非常相似，只不过是用字母替代数而已。因此，我们可以猜想，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。

4．简述表层类比，并用举例说明。

答：①表层类比是根据两个被比较对象的表面形式或结构上的相似所进行的类比。这种类比可靠性较差，结论具有很大的或然性。

②例如，从ac ab c b a +=+)(类比出βαβαsin sin )sin(+=+是错误的，而类比出

n n n n n n n b a b a ∞

→∞→∞→+=+lim lim )(lim 在数列极限存在的条件下是正确的。

③又如，由三角形内角平分线性质，类比得到三角形外角平分线性质，就是一种结构上的类比。

5．数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原则？试举例说明。

答：①数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握，它需要学生深入理解事物之间的本质联系。②学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，是从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的沿着螺旋式方向上升的。③例如，学生理解数形结合方法可从小学的画示意图找数量关系着手孕育；在学习数轴时，要求学生会借助数轴来表示相反数、绝对值、比较有理数的大小等。

一、填空题(本大题满分30分) 本大题共有10题，每个空格填对得3分，否则一律得零分。

1、在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊学者欧几里得的几何原本。

2、变量数学产生的数学基础是解析几何，标志是微积分。

3、数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现。它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。

4、一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。

5、匀速直线运动的数学模型是一次函数。

6、反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。

7、19世纪在公理法方面取得了突破性进展，在这个基础上，抽象的公理法进一步向形式化方向发展。

8、化归方法的基本原则是简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则。

9、所谓数形结合方法是指在研究数学问题时，由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。

10、数学思想方法是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。

二、判断题(本大题满分10分) 本大题共有5题，请在每题后面的圆括号内填写“是”或“否”，答对得2分，其余一律得零分。

1、计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。 (是)

2、一个数学理 …… 此处隐藏：2432字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……