数学思想与方法综合复习资料(2)

⑤注意不同数学思想方法的综合运用。

四、解答题（每题15分，共30分）

1．圆周角定理证明思路如下：

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将圆周角的两边所处的位置分成三种情况：①角的一边落在直径上；②角的两边在某一直径的两侧；③角的两边在某一直径的同侧。如上图所示。先对情况①进行证明，然后将情况②、③转化为情况①分别进行证明。最后得出圆周角定理对任意圆周角都成立的结论。

试具体分析上述证明中需要用到哪些数学思想方法。

答：该证明中用到下面几种数学思想方法：

①将圆周角分成三种情况，用到分类方法；

②先证明角恰有一边在直径上的特殊情况，用到特殊化方法；

③将其他两种情况转化为角恰有角恰有一边在直径上的情况，用到化归方法；

④通过对所有三种情况的证明，然后得出圆周角定理的结论，用到完全归纳法；

⑤在证明过程中需要进行演绎推理，因此用到演绎方法。

2．论述《几何原本》思想方法的特点。

答：①封闭的演绎体系

因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。

所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

②抽象化的内容

《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。因此《几何原本》的内容是抽象的。

③公理化的方法

《几何原本》的第一篇中开头5个公设和5个公理，是全书其它命题证明的基本前提，接着给出23个定义，然后再逐步引入和证明定理。定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。

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数学思想与方法综合练习三

一、填空题（每题5分，共25分）

2．所谓类比，是指（由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法）；常称这种方法为类比法，也称类比推理。

4．猜想具有两个显著特点：（①具有一定的科学性，②具有一定的推测性）。

6．所谓数学模型方法是（利用数学模型解决问题的一般数学方法）。

8．数学模型具有（抽象性、准确性和演绎性、预测性）特性。

10．概括通常包括两种：经验概括和理论概括。而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础，上升为普遍的认识—（由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性）的认识。

二、判断题（每题5分，共25分）

1．数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标。（否）2．由类比法推得的结论必然正确。（否）3．有时特殊情况能与一般情况等价。（是）4．演绎的根本特点就是当它的前提为真时，结论必然为真。（是）5．抽象得到的新概念与表述原来的对象概念之间不一定有种属关系。（是）三、简答题（每题5分，共50分）

1．简述确定性现象、随机现象的特点以及确定性数学的局限性。

答：①④确定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果完全被决定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他可能。即这种现象在一定的条件下必然会发生某种结果，或者必然不会发生某种结果。②随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。③对于随即现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述；此外，由于随机现象并不是杂乱无章的现象，就个体而言，似乎没有什么规律存在，但当同类现象大量出现时，从总体上却呈现出一种规律性，而确定数学无法定量地揭示这种规律性。

2．简述计算机在数学方面的三种新用途。

答：①推动了数学的应用、②加快了科学的数学化、③促进了数学的发展。

3．简述化归方法的和谐化原则

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答：和谐化是数学内在美的主要内容之一。①美与真在数学命题和数学解题中一般是统一的。因此，②我们在解题过程中，可根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等的结构特征，利用和谐美去思考问题，获得解题信息，③从而确立解题的总体思路，达到以美启真的作用。4．常量数学应用的局限性是什么？

答：①在建立了太阳中心理论后，17世纪的人们面临了如何改进计算行星位置，以及如何解释地球上静止的物体保持不动、下降的物体还落在地球上等之类的问题。②这类问题的核心是物体的运动。面对这类带有运动特征的问题，人们已有的数学知识：算术、初等代数、初等几何和三角等构成的初等数学，显得无效。③由于初等数学都是以不变的数量(即常量)和固定的图形为其研究对象(因此这部分内容也称为常量数学)。运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定的事物和现象。可是，对于这些运动变化的事物和现象，它们显然无能为力。

5．简述代数解题方法的基本思想。

答：代数解题方法的基本思想是，①首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，②然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。

数学思想与方法综合练习四

一、填空题（每题3分，共30分）

2．化归方法是指，（把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种方法）。

3．在计算机时代，（计算方法）已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。4．算法具有下列特点：（①有限性，②确定性，③有效性）。

5．化归方法的三个要素是：（化归对象、化归目标、化归途径）。

6．根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成（多次孕育、初步理解、简单应用）三个阶段。

7．一个概括过程包括（比较、区分、扩张和分析）等几个主要环节。

8．古代数学大致可以分为两种不同的类型：一种是（崇尚逻辑推理），以《几何原本》为代表；一种是（长于计算和实际应用），以《九种算术》为典范。

9．《九章算术》思想方法的特点主要有（开放的归纳体系、算法化的内容、模型化的方法）。10．初等代数的特点是（是用字母符号来表示各种数，并且最初研究的对象主要是代数式的运算和方程的求解）。

二、判断题（每题2分，共10分）

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9 1．完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。 （是 ）

2．古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明：不懂几何的人不得入内。这是因为他的学校里所学习的课程要用到很多几何知识。 （否 ）

3．完全归纳法的一般推理形式是：

设S ＝}{n n A A A A A A A 　、、，由于，，，， 21321具有性质P ，

因此推断集合S 中的每一个对象都具有性质P 。 （否 ）

4．《九章算 …… 此处隐藏：2451字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……