§2 收敛数列的性质

收敛数列的性质

2010/9

§2 收敛数列的性质

收敛数列的性质

一、 收敛数列的性质1. 唯一性定理1 定理1 证 每个收敛的数列只有一个极限. 每个收敛的数列只有一个极限.设 lim x n = a , 又 lim x n = b,n→ ∞ n→ ∞

由定义, 由定义

ε > 0, N 1 , N 2 .使得

当n > N 1时恒有 x n a < ε ; 当n > N 2时恒有 x n b < ε;

收敛数列的性质

取N = max{N 1 , N 2 },

则当n > N时有

a b = ( x n b) ( x n a ) ≤ xn b + xn a

< ε + ε = 2ε. ε

上式仅当a = b时才能成立 .

故收敛数列极限唯一. 故收敛数列极限唯一

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2. 有界性定义: 对数列{ 定义 对数列 x n }, 若存在正数 M , 使得一切 成立, 则称数列{ 自然数 n , 恒有 x n ≤ M 成立 则称数列 x n }有 有 否则, 称为无界. 界, 否则 称为无界 n }; 例如, 例如 数列 { n+1

有界

数列 {2n }.

无界

数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间

[ M , M ]上.相应的, 相应的, 可以给出有上界和有下界的定义

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定理2 定理2

收敛的数列必定有界. 收敛的数列必定有界.n→ ∞

证 设 lim x n = a ,

由定义, 由定义

取ε = 1,

则N , 使得当n > N时恒有 x n a < 1,

即有 a 1 < x n < a + 1.记 M = max{ x1 , , x N , a 1 , a + 1 },

则对一切自然数 n,皆有 x n ≤ M , 故{x n }有界.

推论

无界数列必定发散. 无界数列必定发散.

注意：有界性是数列收敛的必要条件 注意：有界性是数列收敛的必要条件.

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例1 证明数列 x n = ( 1) n + 1 是发散的.1 由定义, 证 设 lim x n = a , 由定义 对于ε = , n→ ∞ 2 1 则N , 使得当n > N时, 有 x n a < 成立, 2 1 1 即当n > N时, x n ∈ (a , a + ), 区间长度为1. 2 2 而x n无休止地反复取 1, 1两个数 ,

不可能同时位于长度为 的区间内 不可能同时位于长度为1的区间内 长度为 的区间内.事实上 , { x n }是有界的, 但却发散 .

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3. 子列极限一致性定义： 定义： 在数列 { xn } 中任意抽取无限多项并保持 这些项在原数列中的先后次序， 这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一 个数列称为原数列 { xn } 的子数列 简称子列 子数列，简称子列. 简称子列

{ x nk }定理3 定理3 如果数列 { xn } 收敛于 一子数列也收敛于 a

a ,那么它的任

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证

lim xn = a , 故对于任意给定的正数 ε n→ ∞ | 存在着正整数 N , 当 n > N 时，xn a |< ε成立。 成立。取 K = N,

的任一子列， 设 { xnk } 是数列 { xn } 的任一子列，由

n 则当 k > K时 ， k > nK = nN ≥ N .n→ ∞

于是| 于是| xnk a |< ε , 证得 lim xnk = a .

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数列是发散的， 通常利用此定理来证明 数列是发散的，

比如： 比如：数列x n = ( 1)

n+1

是发散的.

数列{sin n }是发散的

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不等式性质(极限的保序性) 4. 不等式性质(极限的保序性)定理 4: 1o 设 lim a n = a , α , β 满足 α < a < β , 那么当n→ ∞

n 充分大时有 a n > α ; a n < β ;

2 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且 a < b , 那么当n→ ∞ n→ ∞

n 充分大时有 a n < bn ; 3 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且当 n 充分大时n→ ∞ n→ ∞

有 a n ≤ bn , 那么有 a ≤ b .

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二、 极限的四则运算定理5 定理 设 liman = a, limbn = b, 则n→∞ n→∞

(1) (2) (3)证

lim an ± bn ] = a ± b; [n→∞

lim an bn ] = a b; [n→∞

an a lim = , n→∞ b b n

中 其 b ≠ 0.

(1) 绝对值的三角形不等式 ;

( 2) 收敛数列的有界性 , 添加项, 绝对值的三角形不等式;

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(3)

1 1 , 先 b ≠ 0时 lim = 证 n→∞ b b n2

对于 |b| > 0, N 1 , s .t 当n > N 1时, | bn b |< | b | 2

|b| 且此时 | bn |> > 0. 2

n , 所以当 > N1时

1 1 | bn b | 2 | |= ≤ 2 | bn b | . bn b | bn b | b

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由于limbn = b, 对 ε > 0, N2 , s.t 当 n→∞

b2 n > N 2时, 有 | bn b |< ε . 2因此当 > max{N1 , N2 }时 便有 n ,

1 1 2 | |≤ 2 | bn b |< ε . bn b b1 1 , 即证得 lim = . 再由( 2)易见结论成立 . n→∞ b b n

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例1

2 n 2 3n + 4 lim 2 n → ∞ 5 n + 4n 1 3 4 2 + 2 n n = lim n→ ∞ 4 1 5+ 2 n n 3 4 lim 2 lim + lim 2 2 n→ ∞ n→ ∞ n n→ ∞ n = = 4 1 5 lim 5 + lim lim 2 n→ ∞ n→ ∞ n n→ ∞ n

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例2

设 | q |< 1, 计算极限 lim(1 + q + q 2 + ... + q n 1 )n→ ∞

lim(1 + q + q 2 + ... + q n 1 )n→ ∞

1 q = lim n→ ∞ 1 q

n

1 qn = lim lim n→ ∞ 1 q n→ ∞ 1 q

1 1 lim q n = 1 q 1 q n→ ∞

1 . = 1 q

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三、 无穷小定义 : 如果收敛数列 { a n }的极限为 0, 那么这个数列 称为无穷小列 , 简称无穷小 .

定理 6 : 1o {a n }为无穷小的充要条件是 {| a n |}为无穷小 ;

2 o 两个无穷小之和 (或差 )仍是无穷小 ;3 o 设{a n }为无穷小 , {c n }为有界数列, 那么{c n a n }为无穷小;

4 o 设 0 ≤ a n ≤ b n , n ∈ N * , 如果 { b n }为无穷小 , 那么 { a n }也是无穷小 ;

5 o lim a n = a的充要条件是{a n a }为无穷小 .n→ ∞

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两边夹法则) 四、 夹逼准则 (两边夹法则)满足条件: 定理 7 如果数列{xn }, { yn }及{zn }满足条件:

(1) yn ≤ xn ≤ znn→∞

(n = 1,2,3 )n→∞

(2) lim yn = a, limzn = a,那末数列{ 的极限存在, 那末数列{ xn}的极限存在, 且 lim xn = a.n→∞

证

∵ yn → a , z n → a ,

ε > 0, N 1 > 0, N 2 > 0, 使得

收敛数列的性质

当 n > N 1时恒有 y n a < ε,当 n > N 2时恒有 z n a < ε ,

取 N = max{ N 1 , N 2 }, 即 a ε < y n < a + ε,

上两式同时成立, 上两式同时成立

a ε < z n < a + ε,

当 n > N时, 恒有 a ε < yn ≤ xn ≤ zn < a + ε ,

即 xn a < ε 成立 ,

∴ lim x n = a .n→ ∞

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例3 求 lim (n→ ∞

1 n +12

+

1 n +22

++

1 n +n2

).

n 1 1 n , < ++ < 解 ∵ 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1

n 1 又 lim 2 = lim = 1, n→ ∞ n + n n→ ∞ 1 1+ n n 1 lim 2 = lim = 1, 由夹逼定理得 n→ ∞ n + 1 n→ ∞ 1 1+ 2 n 1 1 1 lim ( 2 ) …… 此处隐藏：2246字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……