立体几何专题——空间角(3)

立体几何

此时 tan∠EHA

=

AE 因此 AH

又AD=2，所以∠ADH=45°，所以 AHAH2

PA=2.

解法一：因为 PA⊥平面ABCD，PA 平面PAC，所以 平面PAC⊥平面ABCD. 过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角， 在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°

3，AO=AE·cos30°=, 2

,

4

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°

=

又SE

SO 在Rt△ESO中，cos∠

ESO= 4SE 5

即所求二面角的余弦值为

解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B

-1，0），C

，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E

0，0），F

（

1

,1）， 22

1

,1). 所以

AE AF 2

设平面AEF的一法向量为m (x1,y1,z1),

1 0, m AE 0,

则 因此取z1 1,则m (0,2, 1), 1

x1 y1 z1 0. m

AF 0,

2

因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以 BD⊥平面AFC，

故BD为平面AFC的一法向量.又 BD=（

），

m BD 所以 cos＜m,BD＞

=

5|m|

|BD|

立体几何

因为 二面角E-AF-C

为锐角，所以所求二面角的余弦值为

5