立体几何专题——空间角(2)

l

的大小为

，则

cos

S S ( 为锐角)或cos ( 为钝角) SS

二、例题讲练

例1、如图，已知棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1 面ABCD，的中点， DAB 60 ，AD AA1，F为棱AA1的中点，M为线段

BD1

D（1）求证：MF 面BDD1B1；

A1 1 （2）求面BFD1与面ABCD所成二面角的大小．

（1）证明： 底面是菱形， AC BD

M 又 B1B 面ABCD，AC 面ABCD

F AC B1B， AC 面BDD1B1

又 MF//AC MF 面BDD1B1

（2）延长D1F、DE交于点E F是A1A的中点且ABCD是菱形 DA AE AB

E 又 DAB 60 DBE 90

由三垂线定理可知 D1B BE D1BD为所求角

DD

D1BD 1 3 在菱形ABCD中， DAB 60 BC 3BD tan

BD

D1BD 60

C1

C

例2、如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。

（1）求证：AE⊥平面BCE；

（2）求二面角B—AC—E的大小； 解：（1）如图，∵ BF⊥平面ACE ∴ BF⊥AE 又∵ 二面角D—AB—E为直二面角，且CB⊥AB ∴ CB⊥平面ABE ∴ CB⊥AE

∵ BC BF B ∴ AE⊥平面BCE （2）连BD交AC于G，连FG

∵ 正方形ABCD边长为2 ∴ BG⊥AC，BG 2 ∵ BF⊥平面ACE 由三垂线定理逆定理得FG⊥AC ∴ ∠BGF是二面角B—AC—E的平面角 由（1）AE⊥平面BCE ∴ AE⊥EB

又∵ AE=EB ∴ 在等腰直角三角形AEB中，BE 又∵ Rt△BCE中，EC ∴ BF

2

BC2 BE2 6

BC BE2 22 EC36

BF6

∴ 在Rt△BFG中，sin BGF BG36

∴ 二面角B—AC—E等于arcsin

3

例3、如图所示的几何体ABCDE中,DA 平面EAB，CB//DA,EA DA AB 2CB，EA AB，M是EC的

C

B

立体几何

中点.

(Ⅰ)求证:DM EB;

(Ⅱ)求二面角M BD A的余弦值. 解法一:

(Ⅰ)证明:取BE的中点N,连接MN,AN,则MN//CB//DA,

故M,N,A,D四点共面，∵DA 平面EAB， DA EB. 又EA AB AN EB 由MN AN N， EB 平面ANMD DM EB; (Ⅱ)取AC的中点P,连MP,则MP//EA,

MP 平面ABCD过P作PQ BD,连QM,则QM BD MQP是二面角M BD A的平面角.

设CB a, AC与BD的交点为O,记 AOD , CAB ,则有

11COCB11 OP ( )AC a ,CO AC236

AOAD23

sin sin( 45 )

(sin cos ) 22 21

PQ OPsin a, 又MP EA a

42

MP1

在Rt MPQ中,tan MQP 22, cos MQP

PQ3

1

即二面角M BD A的余弦值为.

3

解法二: 分别以直线AE,AB,AD为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，设CB a，则

A(0,0,0),E(2a,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,a),D(0,0,2a)，所以a

M(a,a,). 2

3

(Ⅰ)证: (a,a,-a), ( 2a,2a,0)

2

DM a (-2a) a 2a 0 0 ,即

DM EB.

(Ⅱ)解:设平面MBD的法向量为 (x,y,z), (0,2a,-2a) ，由 , DM得

2ay-2az 0 y z

33x y z 0 DM ax ay-az 0 2 2

取z 2得平面MBD的一非零法向量为 (1,2,2)

又

平

面

BDA

的

法

向

量为

n1 (1,0,0)

cos ,n1

1 ，

2 22 22 2 02 023

1

∴二面角M BD A的余弦值为.

3

1 0 0

立体几何

例4、 已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB//DC， DAB 90,PA 底面

1

，AB 1，M是PB的中点 2

（Ⅰ）证明：面PAD 面PCD；

（Ⅱ）求面AMC与面BMC

证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则

ABCD，且PA AD DC

各点坐标

为

1 (1,D1,0),P(1,0,0M()0,,)0 ,1),2

（Ⅰ）证明：因AP (0,0,1),DC (0,1,0),故AP DC 0,所以AP DC. 由题设知AD DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC 面PAD 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD

（Ⅱ）解：在MC上取一点N(x,y,z)，则存在 R,使NC MC,

11

(1 x,1 y, z), (1,0, ), x 1 ,y 1,z ..

22

14

要使AN MC,只需AN MC 0即x z 0,解得 .

25

412

可知当 时,N点坐标为(,1,),能使AN MC 0.

555

1212

此时, (,1,), (, 1,),有 0

5555

由AN MC 0,BN MC 0得AN MC,BN MC. ANB为所求二面角的平面角

4

P |AN| BN| AN BN .

555

AN BN2 cos(AN,BN) .

3|AN| |BN|2

故所求的二面角为arccos( ).

3B

例5、如图，三棱锥P—ABC中， PC 平面ABC，PC=AC=2， AB=BC，D是PB上一点，且CD 平面PAB． CA (I) 求证：AB 平面PCB； PA(0,0,0B),(0,2C,0),

(II) 求二面角C-PA-B的大小．

解法一：(I) ∵PC 平面ABC，AB 平面ABC，

∴PC AB．

∵CD 平面PAB，AB 平面PAB，

∴CD AB．又PC CD C，∴AB 平面PCB． (II) 取AP的中点E，连结CE、DE．

E∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=2．

∵CD 平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得 DE PA． ∴ CED为二面角C-PA-B的平面角．由(I) AB 平面PCB，

2

CA

又∵AB=BC，可求得BC=2．在Rt PCB中，PB=PC BC

2

F

6，

PC BC2 22CD ．

在

PB6P

z

Rt CDE中， sin∠

x

y

立体几何

2

CED=

CD

CE

63 ． 32

6

3

∴二面角C-PA-B的大小为arcsin

解法二：（I）同解法一．

(II) 设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．

AB (0, 2,0)，AP (2, 2,2)，

AB m 0, 2y 0,则 即

2x 2y 2z 0. m 0.

y 0,解得 令z= -1, 得 m= (2，0，-1)．

x 2z

'''

设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)． (0,0,-2)， (2, 2,0)，

'' n 0, z 0, 2z 0,'

则 即 解得 ' 令=1, 得 n= (1，1，0)． x'''

x y 2x 2y 0. AC n 0.

m,n cos

m n2 =． ∴二面角C-PA-B的大小为arccos．

mn333 2

1.如图：三棱锥A-BCD中，AC=AB=BD=DA=2，BC=CD=3，则二面角A-BD-C大小为

267

arccos。二面角B-AC-D大小为arccos

1239

C

线a与l所成角为 1(0 90)， 与 所成角为 2，2.已知直线a ,，直

l 大小为 3则恒成立的是（ ）

A. cos 2 cos 1cos 3 B. sin 2 sin 1sin 3 C. sin 3 sin 1sin 2 D. cos 3 cos 1cos 2

3.如图，四边形BCEF、AFED都是矩形，且平面AFED 平面BCEF，

ACF ,

ABF , BAC A．cos cos cos B．sin sin cos C．cos cos cos

D．sin sin cos

3.如图，四棱锥P-ABCD中所有的棱长都相等。求：

B

立体几何

①二面角C-PD-B大小

②设M、N分别为AD、PC中点，

试求MN与底面AC及平面BDP所成的角 ③平面P …… 此处隐藏：3271字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……