立体几何专题——空间角

立体几何

立体几何专题：空间角

第一节：异面直线所成的角

一、基础知识

1.定义： 直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a //a，b //b，相交直线a b 所成的

锐角（或直角）叫做 。 2.范围： 0,

2

3.方法： 平移法、问量法、三线角公式

（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一

个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法：

可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式cos cos a,b

求出来

方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出

代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量

(x1,y1,z1) (x2,y2,z2) co s

x1x2 y1y2 z1z2

x1 y1 z1

2

2

2

x2 y2 z2

222

（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于

斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：cos 1cos 2 cos 二、例题讲练

C

例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中， 1

A

AA1 2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b(a b),AA1=c，

求异面直线D1B和AC所成的角的余弦值。 方法一：过B点作 AC

方法二：过AC的中点作BD1平行线

方法三：（向量法）

例3、 已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，

BC

B

AB//DC， DAB 90 ,PA 底面ABCD，且

1

PA AD DC ，AB 1，M是PB的中点

2

（Ⅰ）证明：面PAD 面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角；

证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间

直角坐标系，则各点坐标为

1

A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,)

2

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（Ⅰ）证明：因AP (0,0,1),DC (0,1,0),故AP DC 0,所以AP DC.

由题设知AD DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线， 由此得DC 面PAD 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面

PCD

（Ⅱ）解：因AC (1,1,0),

PB (0,2, 1),

故|AC| 2,|PB| 5,AC PB 2,所以cos , .

5

例4、 如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA 底面ABCD，

AB BC 1，PA 2， E为PD的中点 求直线AC与PB所成角的余弦值；

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A,B,C,D,P,E的坐标为A(0,0,0)、

B、C、D(0,1,0)、

1

P(0,0,2)、E(0,,1)，

2

从而 (3,1,0), (,0, 2).

设的夹角为 ，则

cos

32

3, 14

∴AC与PB 1. 正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是 90 ,45 ,60 。

2. 正方体AC1中，O是底面ABCD的中心，则OA1和BD1所成角的大小为 。

3. 已知l为异面直线a与b的公垂线，点p ，若a、b间距离为2，点P到的距离为2，P到b的距离为5 ，则异面直线a与b4. 如图正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=2AA1A1B1，A1C1的中点，则AM与CN

5. 如图PD 平面ABCD,四边形ABCDAB=2AD=2DP，E为CD中点。 （1）AP与BE所成的角为

（2）若F 直线PD，且AF与BE所成角为1. =30 行吗？

2. =75 时；

DF

。DP

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6. 空间四边形ABCD中，对角线AC，BD与各边长均为1，O为 BCD的重心，M是AC

的中点，E是 AO的中点，求异面直线OM与BE

D

7.空间四边形ABCD中AB=BC=CD， BCD= ABC=120 ，AB CD，M、N分别是中点（1）AC和BD所成的角为 。（2）MN与BC所成的角为 。

8.已知正方体AC1中，

（1）E、F分别是A1D1，A1C

1的中点，

则AE与CF所成的角为 （2）M、N分别是AA1，BB1的中点，

则CM和D1N所成的角是。

9、如图，三棱锥P—ABC中， PC 平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD 平面PAB． (I) 求证：AB 平面PCB； (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；（解法一：(I) ∵PC 平面ABC，AB 平面ABC， P

∴PC AB．∵CD 平面PAB，AB 平面PAB， ∴CD AB．又PC CD C， ∴AB 平面PCB．

(II) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．

则 PAF 为异面直线PA与BC所成的角．

由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CF AF．由三垂线定理，得PF AF则AF=CF=2，PF=PC CF 在Rt PFA中， tan∠PAF=

2

2

） 3

EA

6，

C

FPF6

=3， AF2

∴异面直线PA与BC所成的角为．

3

解法二：(II) 由(I) AB 平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=2．以B为原点，如图建立坐标系．则Ａ（０，2，０），Ｂ（0，0，0），

C（2，０，0），P（2，０，2）．AP (2, 2,2)，BC (2,0,0)．

则AP BC

2 2+0+0=2．

cos ,

=

222 2

=

1

． 2

∴异面直线AP与BC所成的角为

． 3

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第二节、直线和平面所成的角

一、基础知识

1.定义： （①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③l 或l// ） 2.直线与平面所成角范围是 。

3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。（最小值定理） 4. 求法： 几何法 公式法 问量法

（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角

形求出此角。

cos 1

cos 1 cos 2cos （2）公式法：cos

cos 2

AB 于点B, AOB , AOC 1, BOC 2

（3,, 则 m 的余角或其补角的余角即为a与 所成的角

，

sin cos m

二、例题讲解

例1、在长方体AC1中，AB=2，BC=CC1=1，求

（1）CD与面ABC1D1所成的角 （2）A1C与平面ABC1D1所成的角 （3）A1C与平面BC1D所成的角

例2、四面体ABCD中，所有棱长都相等，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的

余弦值。

例3、（2007高考全国卷1）四棱锥S ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC

底面ABCD．已知∠ABC 45，AB 2，

BC （Ⅰ）证明SA BC；

（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小．

例4、如图,l1,l2是互相垂直的异面直线，M、N分别在l1,l2上，且MN l1，MN l2，点

AB在l1上，C在l2上，AM=MB=MN。

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L2C

（1）证明：AC NB

（2）若 ABC=60 ，求NB与平面ABC所成角的余弦值。

1、（2008年高考全国卷1）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为三角形ABC的中心，则AB1

与底面ABC所成的角的正弦值等于 2、（2008上海高考）如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D

1中，E是BC1的中点。求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

C1

A1

C A B

3、过点P作平面 的两条斜线段PA …… 此处隐藏：2889字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……