2020年上海市浦东新区高二(下)期中数学试卷解析版

第1页，共14页 期中数学试卷 题号

一二三总分

得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）

1.直线c 、d 与异面直线a 、b 都相交，则c 、d 的位置关系是（　　）

A. 平行

B. 相交

C. 异面

D. 相交于一点或异面

2.已知方程x 2+2x -a =0，其中a ＜0，则在复数范围内关于该方程的根的结论正确的是

（　　）

A. 该方程一定有一对共轭虚根

B. 该方程可能有两个正实根

C. 该方程两根的实部之和等于-2

D. 若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于1

3.给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线相互平行；

②垂直于同一平面的两个平面互相平行；

③过空间一点有且只有一条直线和已知平面平行；

④若直线l 1、l 2与同一平面所成的角相等，则l 1、l 2互相平行．

其中假命题的个数（　　）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4.给定正三棱锥P -ABC ，M 点为底面正三角形ABC 内（含边界）

一点，且M 到三个侧面PAB 、PBC 、PAC 的距离依次成等差数列，则点M 的轨迹为（　　）

A. 椭圆的一部分

B. 一条线段

C. 双曲线的一部分

D. 抛物线的一部分

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

5.棱长都是1的三棱锥的全面积为______．

6.已知复数z 满足（1-i ）z =3+i （i 为虚数单位），则z =______．

7.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 与AC 1所成角的大小为______．8.若集合A ={i 、i 2、i 3、i 4}（i 为虚数单位）．B ={1，-1}，则A ∩B =______

9.如图，

一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋（球的直径和圆锥直径相同），如果冰淇淋融化了，是否会溢出杯

子，

______（请在“是”和“否”两个判断词中选填一个）．10.已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm 2，则此圆锥的体积为______cm 3．11.已知半径为R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经

过这三个点的小圆周长为4π，则R =______．

12.如图，在三棱锥S -ABC 中，E 、F 分别为SB 、SC 的中点，G 是SA 的三等分点，

且SG =SA

，则截面EFG 将三棱锥S -ABC 分成两部分，则三棱锥S -EFG 与三棱锥S -ABC 的体积之比为______．

第2页，共14页13.已知S ，

A ，

B ，

C 都是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA =2，AB =3，BC =4，则球O 的表面积等于______．

14.设复数z 1=-1-i ，z 2=3+3i ，若

，则|z -z 1|+|z -z 2|的最小值为______．

15.三棱锥S -ABC 中，SA =AB =AC =2，∠ASB =∠BSC =∠CSA =30°，M ，N 分别为SB ，SC

上的点，则△AMN 周长最小值为______．

16.如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱长为4，点H 在棱AA 1上，且HA 1=1，在侧

面BCC 1B 1内作边长为1的正方形EFGC 1，P 是侧面BCC 1B 1内一动点，且点P 到平面CDD 1C 1距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，|HP |2的范围是______．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

17.在所有棱长都等于2的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D 是A 1C 1的中点，求：

（1）正三棱柱的全面积；

（2）点A 到平面B 1DC 的距离．

18.已知关于x 的实系数方程x 2-px +q =0，其中p 、q 为实数．

（1）若x =1+2i 是该方程的根，求p +q 的值；

（2）若p +2q =2

，求该方程两根之积的最大值．

第3页，共14页19.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及

其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，

G 是的中点．

（Ⅰ）设P 是上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；

（Ⅱ）当AB =3，AD =2，求二面角E -AG -C 的大小．

20.如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，点E 在线段AD 上

，且CE ∥AB ．

（1）求证：CE ⊥平面PAD ；

（2）若PA =AB =1，AD =3，CD =，求四棱锥P -ABCD 的体积；

21.如图所示，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E 、F 分别是棱AA ′、CC ′

的中点，过直线E 、F 的平面分别与棱BB ′、DD ′交于M 、N ，设BM =x ，x ∈[0，1]

，求：

（1）求EF与面A′B′BA所成的角的大小；

（2）求四棱锥C′-MENF的体积V=h（x），并讨论它的单调性；

．

（3）若点P是正方体棱上一点，试证：满足PA+PC=2成立的点的个数为4

第4页，共14页

第5页，共14页答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：已知直线a 与b 是异面

直线，

设直线c 与直线d 分别与两条异面直

线a 与直线b 相交于点A ，B ，C ，D ，

当点B 与点C 重合时，两条直线c

与d 相交，

当点B 与点D 不重合时，两条直线

c 与

d 异面．

故选：D ．

直线c 与直线d 分别与两条异面直线

a 与直线

b 相交于点A ，B ，C ，D ，当点

B 与点

C 重合时，两条直线c 与d 相交，当点B 与点

D 不重合时，两条直线c 与d 异面．

本题考查两直线位置关系的判断，考查平面的基本性质及其推论等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】C

【解析】解：∵=4+4a ,

当≥0，方程有两个根,由韦达定理知，两个根的和为-2,故A ，B 错;

当＜0时，即a <-1,方程的两个根为,其实部和为-2,

虚根的模为-a ,-a >1,故C 对，D 错,

故选C .

二次方程的根与判别式的符号有关，二次方程的根满足韦达定理，判断出A ，B 错；不管判别式大于0还是小于0，二次方程的根满足韦达定理．

注意在复数集中，对于二次方程原有的韦达定理仍成立，但求根公式不成立．3.【答案】D

【解析】解：在①中，垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面，故①错误；在②中，垂直于同一平面的两个平面相交或平行，故②错误；

在③中，过空间一点有0条直线或无数条直线已知平面平行，故③错误；

在④中，若直线l 1、l 2与同一平面所成的角相等，则l 1、l 2相交、平行或异面，故④错误．

其中假命题的个数为4．

故选：D ．

在①中，垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面；在②中，垂直于同一平面的两个平面相交或平行；在③中，过空间一点有0条直线或无数条直线已知平面平行；在④中，l 1、l 2相交、平行或异面．

本题考查两直线位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4.【答案】

B

第6页，共14页【解析】解：设点M 到三个侧面PAB 、PBC 、PCA 的距离为d -a ，d ，d +a

正三棱锥P -ABC 中各侧面的面积为S ，体积为V ，

则S （d -a ）+d +（d +a ）=V ，即Sd =V ，

所以d 为常数．

作平面α使α∥面PBC 且它们的距离为d ，则α与面ABC 的交线即为点M 的轨迹．易知M 的轨迹为一条线段．

故选：B ．

先设点M 到三个侧面PAB 、PBC 、PCA 的距离为d -a ，d ，d +a ，正三棱锥P -ABC 中各个侧面的面积为S ，体积为V ，用等体积法可得d 为常数，作平面α∥面PBC 且它们的面面距离为d ，则α与面ABC 的交线即为点M 的轨迹．

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