大学毕业论文——微分中值定理应用初探(2)

x1

f(t)dt,x (a,b) 有 F'(x) 0 成立 ax a

x1

[f(x)(x a) f(t)dt 2 a(x a)

=

1

[f(x)(x a) f( )(x a)] (a x)

(x a)2

f(x) f( )

(x a)

x

0 ( c x) # x a

=

=f'(c)

例6.设x1 0,x2 0,求证：x1ex2 x2ex1 (1 )e (x1 x2)，其中 在x1与x2之间。 证明：由于x1 0,x2 0,则x 0不在x1与x2之间

1ex

令f(x) ，g(x) ，

xx

则 f(x)与g(x)在x1与x2所限定的区间上满足柯西中值定理的条件

ex2ex1 e e

x2x1f'( ) 2

(1 )e

g'( ) x2x1

又到一年毕业时,论文烦人真想死啊!!不怕,这里有现成的参考模板,大家可以作为参考哦……

整理得，x1ex2 x2ex1 (1 )e (x1 x2) #

3.4 证明中值点的存在性 例7.设函数f(x)在[0，

11

]上二阶可导，且f(0) f'(0),f() 0 22

13f'( )

求证：至少存在一点 (0,)，使得f"( ) 。

21 2

分析：结论可写为 f"( )(1 2 ) 2f'( ) f'( )

x

f"(x)(1 2x) 2f'(x) f'(x)

即 [f'(x)(1 2x)]' f'(x) f'(x)(1 2x) f(x) c 令 c 0，移项得 f'(x)(1 2x) f(x) 0 取 F(x) f'(x)(1 2x) f(x)

证明： 作辅助函数 F(x) f'(x)(1 2x) f(x) 易见，由题设可知 F(x)在[0，

11

]上连续，在（0，）内可导，且 22

F(0) f'(0)(1 0) f(0) 0

1111

F() f'()(1 2 ) f() 0 2222

1

于是，F(x)在[0，]上满足罗尔定理

2

1

，使得 F'( ) 0 至少存在一点 （0，）2

即 f"( )(1 2 ) 3f'( ) 0

例8.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求证： 至少存在一点 (a,b)，使得 分析：令

bf(b) af(a)

f( ) f'( )

b a

bf(b) af(a)

k，则 bf(b) kb af(a) ka

b a

可见，这是一个对称式（a与b互换，等式不变），故取

F(x) xf(x) kx

证明：取辅助函数 F(x) xf(x)

bf(b) af(a)

x

b a

又到一年毕业时,论文烦人真想死啊!!不怕,这里有现成的参考模板,大家可以作为参考哦……

显然，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a) F(b)

F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件， 所以，故至少存在一点 (a,b)，

使得 F'( ) 0 即 f( ) f'( )

即

bf(b) af(a)

0

b a

bf(b) af(a)

f( ) f'( ) #

b a

注：例8采用的方法称为常数k值法，通常它可以如下进行： （1） 令常数部分为k；

（2） 恒等变形，使等式一端为a及f(a)构成的代数式，另一端为b及f(b)构

成的代数式；

（3） 看两端的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，只须把a（或b）

改为x，相应的函数值f(a)（或f(b)）改成f(x)，则替换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数F(x).

例9.设f(x)在[-1，1]内有三阶连续导数，且f( 1) 0，f(1) 1，f'(0) 0 求证： ( 1,1)使f'"( ) 3

证明：作三次多项式 p(x) Ax3 Bx2 Cx D，满足p(1) 1，p'(0) 0 p( 1) 0,p(0) f(0)，由此得 C 0，D f(0)，

A

1111

，B f(0) 即 p(x) x3 [ f(0)]x2 f(0)

2222

而令 (x) f(x) p(x)，则 ( 1) (0) '(0) (1) 0 先在[-1，0]和[0，1]上对 (x)用罗尔中值定理知存在

1 1 0 2 1，使得 '( 1) '(0) '( 2)，再在[ 1,0]，[0, 2]上

对 '(x)用罗尔中值定理得，使得 "( 1) "( 2) 1 1 0 2 2，

再在[ 1, 2]上对 "(x)用罗尔中值定理得， ( 1, 2) ( 1,1)，使得

'"( ) 0，又 '"(x) f'"(x) 3， 故 f'"( ) 3 注：例9所表述的方法称为多项式函数法，在运用时须注意所设函数导数的阶数

又到一年毕业时,论文烦人真想死啊!!不怕,这里有现成的参考模板,大家可以作为参考哦……

即是多项式次数.

3.5 证明方程根的存在性与唯一性

例10.设f(x)在( , )内可微，求证：在f(x)的任何两个零点之间必有

f(x) f'(x)的一个零点

证明：取辅助函数 F(x) f(x)ex

显然，F(x)在[ , ]上连续，且在( , )内可微，其中 , 为f(x)的任意两个零点，即f( ) f( ) 0，且 F( ) f( )e 0 f( )e F( )

F(x)在[ , ]上满足罗尔定理的条件， 可知，于是，至少存在一点 ( , )

使得 F'( ) 0 即 e f( ) e f'( ) 0 也即 f( ) f'( ) 0 例1设f(x)在[0，1]上可微，对于[0，1]上每一个x，函数f(x)的值都在开区

间（0，1）内，且f'(x) 1，求证：在（0，1）内有且仅有一个x，使得f(x) x 证明：令 F(x) f(x) x 由题意知，F(x)在[0，1]上连续，又因 f(x) (0,1) F(0) f(0) 0 0,F(1) f(1) 1 0

由闭区间上连续函数的零点定理可知，在（0，1）内至少有一个x，使 F(x) 0，即 f(x) x

下用反证法证F(x)在（0，1）内至多有一个零点

否则， x1,x2 (0,1)，x1 x2，使得 f(x1) x1，f(x2) x2 由拉格朗日中值定理知，至少存在一个 x (x1,x2) (0,1)，使得

f'(x)

f(x2) f(x1)x2 x1

1 与题设矛盾，命题得证 。

x2 x1x2 x1

注：在证唯一性时，常先利用零点定理或罗尔定理证明函数至少有一个实根，再利用函数的单调性证明最多只有一个实根，从而得证。

又到一年毕业时,论文烦人真想死啊!!不怕,这里有现成的参考模板,大家可以作为参考哦……

3.6 证明有关重要理论

例12（导数极限定理）设函数f在点x0的某邻域U(x0)内连续，在Uo(x0)内可导且极限limf'(x)存在，则f在点x0可导，且

x x0

f'(x0) limf'(x)

x x0

o

证明：（1）任取x U (x0)，f(x)在[x0,x]上满足Lagrange中值定理，则

(x0,x)，使得

f(x) f(x0)

f'( ) （*）

x x0

由于 (x0,x)，故当x 时，有 ，对（*）式两边取极值，使 x0 x0

得 lim

x x0

f(x) f(x0)

limf'( ) f'(x0 0)

x x0x x0

（2）同理可得 f' (x0) f'(x0 0)

由于limf'(x) k ，故 f'(x0 0) f'(x0 0) k，从而

x x0

f' (x0) f' (x0) k，即 f'(x0) k

例13 .(微积分基本公式)如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一

个原函数，则 f(x)dx F(b) F(a)

ab

证明: 在[a,b]中任意插入若干个分点

a x0 x1 x2 xn 1 xn b

F(b) F(a) [F(xi) F(xi 1)]

i 1

n

对于上式右边的和式中的每一项应用微分中值定理

F(b) F(a) F'( )(xi xi 1)

i 1

n

f( )(xi xi 1), xi 1 xi.

i 1

n

又到一年毕业时,论文烦人真想死啊!!不怕,这里有现成的参考模板,大家可以作为参考哦……

记 xi xi xi 1,i 1,2, ,n, max x1, x2, , xn

0,根据定积分定义因为连续函数f(x)在区间[a,b]上可积,所以在上式中令

即可得 …… 此处隐藏：3203字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……