14.6_等腰三角形的判定(1)

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14.6(1) 等腰三角形的判定 第一课时

上海市第四中学 赵伟

教学目标

1．经历实验操作的探索活动，发现并归纳：等角对等边；

2．经历对等腰三角形判定方法的形式化说理过程，体会直观感知与理性思考的联系，“实验—归纳—猜想—论证”的数学研究方法；

3．通过题组练习及对“三线合一”逆命题的质疑，掌握“等角对等边”，并能规范表达相关的几何说理，进一步体会“逆向思维”的方法.

教学重点及难点

1．“等角对等边”的正确运用

2．学会简单的几何说理的表达格式

教学用具准备

长方形纸条、刻度尺、图片、课件

教学流程

教学过程设计 一、折纸实验，提出猜想

提出问题：如图，将一个长方形纸条进行折叠，叠和部分所成的三角形有什么特征？它是等腰三角形吗？

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或

从人人参与的折纸活动引入,如图1、图2，由轴对称和平行线的性质，因为∠1=∠2，∠1=∠3,所以∠2=∠3.又经度量得到AB=AC.于是提出猜想：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形.

引导学生比较此命题与等腰三角形性质“等边对等角”在条件、结论上的区别.于是板书，并指出现在还仅是个猜测，它的正确性尚须论证：等角对等边.

二、命题论证，定理辨析

如图3，在△ABC中，已知∠B=∠C，说明△ABC是等腰三角形的理由

.

启发学生类比“等边对等角”的证明方法，试图构造以AB，AC为对应边的一对全等三角形，于是作公共边AD，使△ABD≌△ACD.由讨论知辅助线AD可以是边BC上的高，或△ABC的角平分线，从而推出AB=AC.但不能作边BC上的中线，因S.S.A无法判定全等.

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[说明]以上环节是由实验形成了“等角对等边”的猜想，再加以证实.从中体会“实验—归纳—猜想—论证”的数学研究方法，感受数学发现、创造的历程.

为更好地理解“等角对等边”，可再设问：在定理的条件中若去掉限制条件“在一个三角形中”，即如果在两个三角形中分别有一个角，它们是相等的，那么这两个角所对的边是否也相等呢？

教师指导学生通过作图举反例来辩驳，强调这是在同一个三角形中的边角关系.

三、题组讲练，运用定理

1．初步运用---数等腰三角形

习题1：指出各图中有哪几个等腰三角形，为什么？

在△ABC中，已知∠A=36°，∠ABC=72°，BE平分∠ABC. （l）如图4，若CD平分∠ACB.

（2）如图5，若BD=BC.

（3）如图6，若DE平分∠BDC，EF平分∠

DEC.

[说明] 以上三小题根据教学实际情况选用或改用，在一题多变的题组练习中，帮助学生逐渐熟悉“等角对等边”，并渗透分类讨论思想.

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2．巩固运用---熟识基本图形“角平分线--平行线--等腰三角形” 习题2：根据以下各图及已知条件，分别指出图形中的等腰三角形，

并说明理由

.

（l）如图7，OC平分∠AOB，CD∥OB.

（2）如图8，OC平分∠AOB，OC∥BD.

（3）如图9，AD平分∠BAC，CE∥AD.

（4）如图10，AD平分∠BAC，GE∥AD.

[说明]要求不但巩固“等角对等边”，而且从中归纳出一个“基本图形”：角平分线加平行线、出现等腰三角形.（戏称此图为“抱孩子图形”）.这个多题归一的题组练习以“抱孩子图形”为载体，有益于探究意识的增强.

习题3：根据教学实际情况，可酌情进一步训练（选用）

（l）如图11，已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF∥BC

说明EF=BE+CF；

（2）如图12，已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE∥AB ，DF∥AC

说明△DEF的周长为BC；

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（3）如图13，已知BD平分∠ABC，CD平分△ABC的一个外角，DE∥BC ，

说明EF=BE–CF；

（4）如图14，已知AB平分∠DAE，AC平分∠DAF，BC∥EF

说明AD=BC.

1

2

[说明]在学习几何说理表达规范的同时，初步感知从复杂图形中区分出基本图形的分解与组合思想；另外，由第4小题引导学生得出直角三角形的一个性质定理，以此鼓励学生在实践应用中逐步积累有关发现、叙述、总结数学规律的经验.

3．拓展运用---质疑等腰三角形三线合一的逆命题的正确性

由等腰三角形的性质“等边对等角”与判定“等角对等边”的关系，自然会联想另一性质“等腰三角形的三线合一”的逆命题及其正确与否.

习题4：如图15，根据以下条件，能否判断△ABC是等腰三角形？并

说明理由.

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（l）已知∠BAD=∠DAC，AD⊥BC，

（2）已知BD=DC，AD⊥BC，

（3）已知∠BAD=∠DAC ，BD=DC，

第1小题由A.S.A易推得； 第2小题实质上是线段垂直平分线性质，由S.A.S易推得；第3小题是习题4的重点，需倍长中线，化归为判定等腰三角形.最后归纳：若三角形一边上的中线，此边上的高，此边所对角的平分线中任意两条重合，则此三角形为等腰三角形.

[说明]教学中进行“逆向思考”、“反思学习”的指导，鼓励学生对已有的知识经验进行反思、质疑，对问题进行多角度分析.

四、反思小结,谈谈收获

１．这节课你学会了什么？

２．你认为有哪些要注意的地方？

３．你还有什么疑惑吗？

五、评价反馈,课外延伸

习题5：已知，如图16，线段a、h，

求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h

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[说明] 习题5是习题4的第２小题的变式

习题6：如图17，已知点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=

∠CDE求证：AB=CD .

现给出以下两种添加辅助线(如图18、图19)的方法，请任选一种证明.

[说明] 习题6是习题4的第３小题的变式.教学中结合题目，总结规律：证明几何元素间的度量关系.比如要证明两线段相等时，往往先观察这条两线段分布在什么位置上，是等腰三角形的两腰，还是两个全等三角形的对应边，然后有的放矢，证明一个三角形是等腰三角形，或两个三角形全等.