大学毕业论文——微分中值定理应用初探

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皖 西 学 院

本科毕业论文（设计）

论 文 题 目 微分中值定理应用初探

姓名（学号） 系 别 专 业 导 师 姓 名

倪森 数 理 系 数学与应用数学 邵毅

二〇一一年四月

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微分中值定理应用初探

作 者 倪森 指导教师 邵 毅

摘要：本文首先介绍了微分三大中值定理以及它们之间的关系，然后论述了微分中值定理在研究函数性质，求极限，求近似值和在实际生活中的应用。 关键词：中值定理 联系 应用

微分中值定理是微分学的基本定理之一，是沟通函数与其导数之间的桥梁，

是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具.应用十分广泛。 1、微分中值定理及其几何意义 1.1 罗尔（Rolle）中值定理：

若函数f满足如下条件: (i)f在闭区间[a,b]上连续; (ii)f在开区间(a,b)内可导; (iii)f(a) f(b),

则在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f ( ) 0 (1) 证明：因为f在闭区间[a,b]上连续,所以有最大值与最小值,分别用M,m表示,现分两种情况来讨论:

(1)若m M,则f在[a,b]上必为常数,从而结论显然成立。

(2) 若m M,则因f(a) f(b),使得最大值M与最小值m至少有一个在

(a,b)内某点 处取得,从而 是f的极值点。

图1

由条件(ii), f在点 处可导,故由费马定理推知f ( ) 0。 罗尔定理的几何意义:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线（图1）。

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1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理： 若函数f满足如下条件: (i) f在闭区间[a,b]上连续;

(ii) f在开区间(a,b)内可导, 则在(a,b)内至少存在一点 ,使得

f ( )

f(b) f(a)

. （2）

b a

图2

证明：作辅助函数F(x) f(x) f(a)

f(b) f(a)

(x a)

b a

显然,F(a) F(b) 0,且F在[a,b]上满足罗尔定理的另两个条件 故 (a,b),使

F ( ) f ( )

f(b) f(a)

0

b a

移项后即得所要证明的(2)式。

拉格朗日公式还有下面三种等价表示形式：

f(b) f(a) f ( )(b a),a b

f(b) f(a) f (a (b a))(b a),0 1; f(a h) f(a) f (a h)h,0 1

;

拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件的曲线y f(x)上至少存在一点P( ,f( )),该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB（图2）。 1.3 柯西（Cauchy）中值定理:

设函数f和g满足: (i) 在[a,b]上都连续;

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(ii) 在(a,b)上都可导; (iii) f’(x)和g’(x)不同时为零;

(iv)

g(a) g(b),

则在

内至少存在 (a,b),使得

f ( )f(b) f(a)

(3)

g ( )g(b) g(a)

f(b) f(a)

(g(x) g(a)),

g(b) g(a)

证 明： 作辅助函数 F(x) f(x) f(a)

易见F在[a,b]上满足罗尔定理的条件,故存在 (a,b),使得

F ( ) f ( )

f(b) f(a)

g ( ) 0

g(b) g(a)

因为g ( ) 0(否则由上式f ( ) 0),所以可把上式改写成(3)式。 此定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义,只是要把f,g这两个函数写作以x为参量的参数方程

u g(x),

x [a,b].

v f(x)

在uov平面上表示一段曲线,由于(3)式右边的

f(b) f(a)

表示连接该曲线两端

g(b) g(a)

点的弦AB的斜率,而(3)式左边的

f ( )dv

g ( )du

,则表示该曲线上与x 相对应

x

的一点P(g( ),f( ))处的切线的斜率。因此(3)式即表示上述切线与弦AB互相平行（图3）。 1.4 泰勒公式

若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)的多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2! (x-x.)^2,+f'''(x.)/3! (x-x.)^3+…

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…+f(n)(x.)/n! (x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)! (x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.

（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）

Lagrange中值定理是的特例。 1.5 中值定理的一些推论

1、Rolle定理的推论：若f在[x1，x2]上连续，在(x1，x2)内可导，

f(x1) f(x2) 0，则存在 (x1,x2)，使得f ( ) 0（简言之：可导函数的两个根之间必有导数的零点）。 2、Lagrang定理的推论：

推论 若函数f在区间I上可导，且f (x) 0，x I，则f为I上的一个常量函数。

几何意义：斜率处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线。

推论 若函数f和g均在I上可导，且f (x) g (x)，x I，则在区间I上f(x)与g(x)只差一个常数，即存在常数C，使得f(x) g(x) C。

2、微分中值定理之间的内在联系

罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理，以拉格朗日中值定理为中心，它们之间的关系可用简图示意

3、微分中值定理的应用

以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理．它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态。中值定理的主要

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作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则．中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数单调性、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。从而把握函数图象的各种几何特征．此外，在研究极值问题中也有重要的实际应用．

3.1 判别可微函数的单调性

定理1 设f(x)在区间[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上递增（减）

f (x) 0( 0).

证明：如f为增函数，则对每一x0 I，当x x0时，有 令x x0即得f'(x) 0

f(x) f(x0)

0

x x0

反之，若f(x)在区间I上恒有f'(x) 0，则对 x1,x2 I

（不妨设x1 x2）由Lagrange中值定理知， (x1,x2) I，使得 f(x2) f(x1) f'( )(x2 x1) 0

由此即得 f(x)在I上递增 # 例1.设f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(0) 0,f'(x)单调增加 求证:

f(x)

在(0,a)内也单调增加 x

证明:由于 f(x) f(x) f(0) xf'( ), 0 x(当x 0时) 又f'(x)单调增加,有f'(x) f'( ) (当x 时)

f(x) xf'(x) f(x)xf'(x) xf'( )< …… 此处隐藏：3014字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……