解析几何中的高考最新热点问题(2)

PF1 PF2

2a,

即2a 4,

x2y2

1. a 2,b 2 1 3，椭圆方程为

43

2

2

2

（2）设M(x ,y ),则⊙M半径r (x 1) y 2,圆心M到y轴的距离d x ,若圆M与

y轴有两个交点，则有r d,即(x 1)2 y 2 x ,化简得y 2 2x 1 0.

32

. M点在椭圆上， y 2 3 x04

4

代入上不等式得3x 2 8x 16 0,解得 4 x .

3

4

2 x 2, 2 x .

3

（3）存在⊙N：(x 1)2为椭圆的左焦点F1. 由椭圆的定义知，

y2 16与⊙M恒相切，圆心N

MF1 MF2 2A 4,

MF1 4 MF2. 两圆相内切。

说明：针对新课程的要求设计，考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与圆、圆与圆的位置关系，同时也体现了对学生探究能力的考查。 例10、 1 在抛物线

y2 2px(p 0)中，过顶点O作两直线交抛物线于A,B两点，且

0，连A,B交X轴于E点，则E为定点。

2 试把上述命题推广到一般情形，提出同 1 类似的问题，（ 1 应当作为特例），并进行研究，

你能得到什么样的结论？

解：1）设直线AB:x ky m,交抛物线于A,B两点，代入y

2

2px，得：

y2 2pky 2pm 0，又 0， x1x2 y1y2 0 。

y12y22故 y1y2 0, m2 2pm 0,则m 2p,或m 0（舍去）即E点坐标为2

4p

(2p,0)。

（2）问题：在抛物线

y2 2px(p 0)中，过顶点O作两直线交抛物线于A,B两点，且

c， c为定值 ，连A,B交X轴于E点，则E为定点。

x1x2 y1y2 c，故m2 2pm c 0 m p p2 c或m p p2 c（舍去），

因

p为定值，故m为定值，从而E为定值。

y1y2 0求出，如果将其该结构x1x2 y1y2 0 x1x2 y1y2 c的改

说明：通过前面问题的解答，也就尝试用方程的方法可求出AB连线与X轴所交的定点坐标，它的本质是由x1x2

变，定点(m,0)位置也同样可求出。因此对特殊情形的深入细致的分析，善于抓住问题的本质是解研究性学习问题的重要方法。 四、解析几何中的创新问题

abx2y2x2y2例11、若椭圆E1:2 2 1和椭圆E2:2 2 1满足2 2 m(m 0),则称这两个

a1b1a1b1a2b2

椭圆相似，m称为其相似比。

x2y2

1相似的椭圆方程。 （1） 求经过点(2,),且与椭圆42

（2） 设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于A,B两点（其中点A在 线段OB上），求 OB的最大值和最小值。

（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆（其

中

x22x22

C1:

1，C2: 1）交于A,B两点，P为线段AB上的一点，若

24x2y2

2 1".请用推广或类比的方法提则点P的轨迹方程为,,OB成等比数列，2

2(2)

出类似的一个真命题，并给予证明。

x2y2x2y2

1相似的椭圆的方程为2 2 1, 解：（1）解法一设与椭圆42ab

22

a2 16, ab,

则有 解得 2

46b 8. 1,22 abx2y2

所求的椭圆方程为 1.

168

x2y2xy 1相似的椭圆的方程为 m2， （1）解法二：由题意可设与椭圆

4242x2y2 1. 将点代入方程可得m 4, m 2， 所求的椭圆方程为

168

2

（2）当射线与y轴重合时， OB 2 4.

当射线不与y轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察A,B在第一象限的情形。 设其方程为y kx(k

0,x 0),设A(x1,y1),B(x2,y2).

y1 kx1, 22由 x1y2

1 42

4 2

x , 2k2 1k2 1 11 2k2

，则 .同理得OB . 得 2

224k 2k 2k y12 ,2 1 2k

2k2 14k2 18(k2 1)4

所以 OB 4 . 22221 2k1 2k 2k 2k

即4

OB 8.

OB的最小值为4.

综上所述， OB的最大值为8,

x2y2

（3）过原点的一条射线分别与两条双曲线C1: 1和

ab

x2y2

C2: 1(m 0)交于A,B两点，P为线段AB上的一点，若,OP,成22

(ma)(mb)x2y2

1. 等比数列，则点P的轨迹方程为22

(ma)(mb)

证明： 射线l与双曲线有交点，不妨设其分斜率为k，显然

bk .

a

设射线l的方程为y kx，点A(x1,y1)B(x2,y2),P(x,y).

y kx, 由 x2y2

1 a2b2

解得x1

abb ak

2

2

2

.

y kx, x2

y2由 122 (ma)(mb)

解得x2

mab ak

2

2

2

.

x2 x1 x2,

由P点在射线l上，且OP OB得

y kx,

2

a2b2m x b2 a2k,

即

y k . x

x2y2

所以 1. 22

()()

说明：本题类比初中学过的三角形的相似比给出椭圆相似的概念，并由此引出了一个值得探究的问题。这个问题主要考查学生椭圆的标准方程、圆锥曲线与直线的位置等多个知识点，考查函数与方程思想、类比思想、待定系数法等多种重要的数学思想方法。特别是培养学生开展研究性学习的好题目。