解析几何中的高考最新热点问题

解析几何中的几个热点问题

一、求曲线的轨迹方程；

例1、 已知平面Rt ABC的顶点A坐标（－2,0），直角顶点B(0, 2点P为线段OA的中点。

（1） 求BC边所在直线的方程。 （2）

),顶点C在x轴上，

M为Rt ABC外接圆的圆心，求⊙M的方程。 N的轨迹方程。

（3） 若动圆N过点P且与⊙M内切，求动圆N的圆 心

解：（1）利用 ABC 90 ,可得点C(4,0).所以BC边所在直线方程为x

2y 4.

（2）由（1）可得圆心M(1,0)半径为3,所以⊙M的方程为

(x 1) y

22

9.

3,由椭圆定义知动圆圆心N的轨迹方程

（3）因为NP NM为

4x4y

1. 95

22

说明：本题是解析几何简单的综合题。主要考查直线方程、圆的方程和求轨迹等相关知识点，锻炼了学生运用基本量和定义求解曲线方程的能力。

例2、 已知线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动，AB的一点，且

3.点M是线段AB上

AM 1,点M随线段AB的滑动而运动。求动点M的轨迹E的方程。

解：记A(x ,0),B(0,y ),M(x,y).由题设 3,即( x ,y ) 3(x x ,y).

3x x 3x 3x , x ,

所以 解得 2

y 3y. y 3y.

9

x 2 y 2 9, x2 9y2 9,即动点M的轨迹E的方程为

4

x2

y2 1. 4

说明：本题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法。 例3、已知圆x2

y2 1,点A(1,0), ABC内接圆，且 BAC 60 ,当BC在圆上运动时，求

B,C两点在圆x2 y2 1上，可设点

BC中点的轨迹方程。

解：利用圆的参数方程，由

B(cos ,sin ),

点

C(cos ,sin ), BAC 60 , BOC 120 , 120 ,且

0 240 ,设线段BC中点为M(x,y),由中点坐标公式得

cos cos x 2由于 120 ,则

sin sin y 2,

111 1

x (cos cos ) cos cos( 120) 2 cos 2cos 2 22

11 1

cos sin cos( 60). 2 22 2

两式平方相加得

1

x2 y2 . 0 240 , 60 60 300 ,则

4

111

1 cos( 60 ) ,即 x ,

224

综上所述，线段BC中点的轨迹议方程为x

2

11 y2 (x ).

44

说明：本题主要考查动点轨迹有一套的求法、圆的几何特性在解析几何中的应用以及圆的参数方程和三角代换等。特别是对x取值范围的限制，可以训练学生处理问题的严密性和解决问题的灵活性。

二、向量与解析几何的联系

例4、在平面上，给定非零向量，对任意向量

，定义a

2( )。

（1）若 (2,3), ( 1,3)，求a；

（2）若 (2,1)，证明：若位置向量的终点在直线Ax By C 0上，则位置向量a的终点也在一条直线上；

2( 2 9)176'

( 1,3) (, )； 解：（1）a (2,3)

1055

（2）设a (x,y),a' (x',y')，则

23443

(x',y') (x,y) (2x y)(2,1) ( x y, x y)，

55555

3434

x' x yx x' y' 3443 5555 ，即 ，故A( x' y') B( x' y') C 0

5555 y' 4x 3y y 4x' 3y'

5555

从而

11

(3A 4B)x ( 4A 3B)y C 0； 55

11

(3A 4B)x ( 4A 3B)y C 0上； 55

PM PN ，记动点P的轨迹为W。

由于A、B不全为0，故3A 4B、 4A 3B也不全为0， 于是a的终点在直线

例5、已知点M( 2,0),N(2,0)，动点P

满足条件（1）求W的方程； （2）若从动点P向圆C：x

2

(y 4)

2

1作两条切线，切点为A、B，试求PA PB的范围。

解：（1

由

PM PN 知点P的轨迹是以M( 2,0),N(2,0)

为焦点，实轴长

为

的双曲线。即

设

2a c 4 a c 2,b。

所以所求的W的方程为x2 y2

2

22

（2）设|O'P| d，如图，PA PB PAPBcos APB (d 1)(1 2sin APO )

2

(d2 1)(d2 2)1 2

(d 1) 1 2 dd

又d2 x2 (y 4)2 y2 2 (y 4)2 2y2 8y 18 2(y 2)2 10 10

(d2 1)(d2 2)22

d 3 则PA PB

d2d2 d2 10且f(d) d2

2

3在 是增函数， 2d

21 3 7 105 1 则所求的PA PB的范围为 7, 。

5

f(d) 10

x2y2

例6、已知点F1,F2是双曲线M：2 2 1的左右焦点，其渐近线为y ，且右顶点

ab

到左焦点的距离为3．

(1)求双曲线M的方程；

(2) 过F2的直线l与M相交于A、B两点，直线l的法向量为n (k, 1),(k 0)，且

OA OB 0，求k的值；

(3)在(2)的条件下，若双曲线M在第四象限的部分存在一点C满足OA OB mF2C，求

m的值及△ABC的面积S ABC．

y2

1． 解: (1) 由题意得x 3

2

2y2

x 1

(2) 直线l的方程为y k(x 2)，由 得3

y k(x 2)

(3 k)x 4kx (4k 3) 0（*）

4k2

x x 2 123 k所以

2

x x 4k 312 3 k2

由OA OB 0得x1 x2 y1 y2 0

即(1 k

2

2222

)x1 x2 2k2(x1 x2) 4k2 0

代入化简，并解得k （舍去负值） x1 x2 1

2

(3)把

k *）并化简得4x 4x 9 0，此时 9，

x x 124

所以|AB|

4

1

x 2 0 m

设C(x0,y0)，由OA OB mF2C

得 代入双

y 0 m

曲线M的方程解得m

33

（舍），m=2

，所以C(, ，

222

点C到直线AB

的距离为d所以S ABC

1

d |AB| 2

三、解析几何中的探索问题

例7、如图，在直角坐标系xOy中，有一组对角线长为an的正方形AnBnCnDn(n 1,2, )， ．．．其对角线BnDn依次放置在x轴上（相邻顶点重合）. 设 an 是首项为a，公差为d(d 0)的等差数列，点B1的坐标为(d,0). （1）当a 8,d 4时，证明：顶点

A1、A2、A3不在同一条直线上；

（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点

An均落在抛物线y2 2x上；

（3）为使所有顶点An均落在抛物线

y2 2px(p 0)上，求a与d之间

所应满足的关系式.

[证明]（1）由题意可知，A1 8,4 ,A2

3 k6 4A1A2

18 8 15,k8 61

A2

A3

32 18 7

. kA1A2 kA2A3，

顶点A1,A2,A3不在同一条直线上. （2）由题意可知，顶点A1

n的横坐标xn d a1 a2 an 1 an 2(n 1)22

， 顶点A1

n的纵坐标yn

2an

2(n 1). 对任意正整数n，点An xn,yn 的坐标满足方程y2 2x， 所有顶点An均落在抛物线y2 2x上. （3）[解法一] 由题意可知，顶点An的横、纵坐标分别是 xn d

12a (n 1)a 11

2(n 1)2d,yn 2

a (n 1)d 消去n 1，可得 x22

a(d a)n

dyn d

2d

. 为使得所有顶点An均落在抛物线y2 2px(p 0)上，则 …… 此处隐藏：2706字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……