离散数学习题解答第6部分(图论)

离散数学习题解答 习题六 （第六章 图论）

1．从日常生活中列举出三个例子，并由这些例子自然地导出两个无向图及一个向图。

[解] ①用V代表全国城市的集合，E代表各城市间的铁路线的集合，则所成之图G=（V，E）是全国铁路交通图。是一个无向图。

②V用代表中国象棋盘中的格子点集，E代表任两个相邻小方格的对角线的集合，则所成之图G=（V，E）是中国象棋中“马”所能走的路线图。是一个无向图。

③用V代表FORTRAN程序的块集合，E代表任两个程序块之间的调用关系，则所成之图G+（V，E）是FORTRAN程序的调用关系图。是一个有向图。 2．画出下左图的补图。

[解] 左图的补图如右图所示。

3．证明下面两图同构。

v2

a 图G′

v3 图G

v4

[证] 存在双射函数 :V→V′及双射函数 : E→E′

(v1)=v1′ (v2)=v2′ (v3)=v3′ (v4)=v4′ (v5)=v5′ (v6)=v6′

(v1，v2)=(v1′，v2′) (v2，v3)=(v2′，v3′) (v3，v4)=(v3′，v4′) (v4，v5)=(v4′，v5) (v5，v6)=(v5′，v6′) (v6，v1)=(v6′，v1′) (v1，v4)=(v1′，v4′) (v2，v5)=(v2′，v5′) (v3，v6)=(v3′，v6′)

显然使下式成立：

(vi，vj)=(vi,vj′) (vi)=v i′∧ (vj)=vj′ (1≤i·j≤6) 于是图G与图G′同构。

4．证明（a），（b）中的两个图都是不同构的。

图G中有一个长度为4的圈v1v2v6v5v1，其各顶点的度均为3点，而在图G′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v1 ，v5 ，v7 ，v3 不成长度的4的圈。

图G中′有四个二度结点，v6 ，v8 ，v4 ，它们每个都和两个三度结点相邻，而G中一个区样的结点都没有。

在（b）中，图G 中有一2度结点v3 ，它相邻的两个项点v2 ，v4 的度均为4，而在图G中却没有这样的点。

G

G′

G

G′

v3

v4

5．一个图若同构于它的外图，则称此图为自补图。在满足下列条件的无向简单图中： 1) 给出一个五个结点的自补图；

2)有三个或一结点的自补图吗？为什么？

3）证明：若一个图为自补图，则它对应的完全图的边数不清必然为偶数。 [解] 1) 五个结点的自补图如左图G所示

同构函数 : V→V及 : E→E如下： (a)=a (b)=c (c)=e (d)=b (e)=d

(a，b)=(a，c) (b，c)=(c，e) (c，d)=(e，d) (d，e)=(b，d) (e，a)=(d，a)

G

G

e

b

a

e

2)（a）没有三个结点的自补图。因为三个结点的完备图的边数为3(3 1)=3

2为奇数，所以由下面3)的结论，不可能有自补图。

（b）有五个结点的自补图。1）中的例子即是一个五个结点的自补图。 3）证：一个图是一个自补图，则它对应的完全图的边数必为偶数。

因为若一个图G是自补图，则G∪G=对应的完全图，而且E∩E=φ，G现G同构，因此它们的边数相等，即|E|=|E|，因此对应的完全图的边数|E*|=|E|+|E|=2|E|，是偶数。

实际上，n个项点（n＞3）的自补图G，由于其对应的完全图的边数|E*|=

n(n 1)n(n 1)

，因此有=2|E|，为偶数。这里n≥4。对于所有大于或等22

于4的正整数，都可表达成n=4k，4k+1，4k+2，4k+3的形式，这里k=1，2， 。

其中只有n=4k，4k+1，才能使4k或4k+1形式，（k∈N）

n(n 1)

为偶数，所以自补图的项点数只能是2

6．证明在任何两个或两个以上人的组内，总存在两个人在组内有相同个数的朋友。

[证] 令上述组内的人的集合为图G的项点集V，若两人互相是朋友，则其间联以一边。所得之图G是组内人员的朋友关系图。显然图G是简单图，图中项点的度恰表示该人在组内朋友的个数，利用图G，上述问题就抽象成如下的图认论问题：在简单图G中，若|V|≥2，则在G中恒存在着两个项点，v1，v2∈V，使得它们的度相等，即deg(v1)=deg(v2)。其证明如下：

若存在着一个项点v∈V，使得deg(v)=0，则图G中各项点的度最大不超过n-2。因此n个项点的度在集合{0，1，2， ，n-2}里取值，而这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两个项点的度相同。

若不存在一个度为零的项点，则图G中各项点的度最大不超过n-1。因此n个项点的度在集合{1，2， ，n-1}中取值，这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两具项点的度相同。

7．设图G的图示如右所示： 1) 找出从A到F的所有初级路；

2）找出从A到F的所有简单路； 3）求由A到F的距离。 [解] 1）从A到F的初级路有7条

E

P1 : (A，B，C，F)，P2 (A，B，C，E，F)，P3 : (A，B，E，F) P4 : (A，B，E，C，F)，P5 : (A，D，C，E，F)，P6 : (A，D，E，C，F) P7 : (A，D，E，B，C，F)。 2）从A到F的简单路有9条

除了上述1）中7条外，不有P8 : (A，D，E，C，B，E，F) P9 : (A，D，E，B，C，E，F)。 3）从A到F的距离为3。

由图可看出，显然从A到F，一步不可能到达，二步也不可到达；但有长度为3的路，比如P1，P3，P5等能从A到F，故从A到F的距离为3。

8．在下面的图中，哪此是边通图？哪些是简单图？

（a） (b) (c)

[解] （1）图（2）与图（b）不连通，它们能分成两个边通支。所以只有图（c）是

连能图。

（2）图（c）是简单图，图为它显然无平等边，无自环。图（a）、（b）是多重图（a）有平行边（b）有自环。

9．求出所有具有四个结点的简单无向连通图。

[解] 在不同构的意义下，具有四个结点的简单无向连通图共有6个。

如下面所示：

G1

G2 G2

G3

G4 G4

G5 G5

G6 G6

lya定理得证。参见卢（实际上，具有四个结点的简单图共有11个，这可由P o

开澄的《组合数学一算法与分析》上册P241-P244）。 10．设G是一个简单无向图，且为（n，m）图，若

1

m (n 1)(n 2)

2

证明G是连通图。

[证] 用反证法。假若简单无向图G不是连通图，那么G必可成K（≥2）个连通分支G1，G2， ，Gk，每个连通分支Gi（1≤i≤k）都是一个简单无向图，因此它们分别为（n1，m1），（n2，m2）， （nk，mk）图显然有n=n1+n2+ nk，m=m1+m2+ mk，且ni≤n-1（1≤i≤k）于是有

m=m1+m2+ mk

n1(n1 1)n2(n2 1)n(n 1)

kk

222

(n 1)(n1 1)(n 1)(n2 1)(n 1)(nk 1)

222

=(n-1)·== ≤

1

·((n1-1)+(n2-1)+ +(nk-1)) 2

1

(n-1)((n1+n2+ +nk)-k) 2

1

(n-1)(n-k) 2

1

(n-1)(n-2) (k≥2) 2

1

（n-1）(n-2)矛盾。 2

这与已知M＞

因此假设错误，G是连通图。

11．设G=（V，E）是无向完全图（无自环），|V|=n

1） 求G中有多少初级圈？

2） 设e∈E，求含有e的初级圈有几个？

3） 设u，v∈V，u≠v，求由u到v有几条初级路？

[解] 1）在一个有n个结点的无向完全图（无自环）中，构成一个初级圈，至少需3个结点，至多有n个结点，故G中初级圈的个数为

2! n 3! n (n 2)! n (n 1)! n

2 3 2 4 2 n 2 2 n 1 Akn(个)k 32

列 …… 此处隐藏：2874字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……