抛物线的几个常见结论及其应用

抛物线的几个常见结论及其应用

抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

结论一：若AB是抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦（过焦点的弦），且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：

p2

x1x2 ，y1y2 p2。

4

例：已知直线AB是过抛物线

y2 2px(p 0)焦点F，求证：

11为定值。 AFBF

结论二：（1）若AB是抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则

AB

2P（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）

2sin

最短。

例：已知过抛物线

y2 9x的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为 。AB倾斜角为

2 或。 33

结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

例：已知AB是抛物线相切。

(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB

（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线y2 2px(p 0)的过焦点F的弦，求证：

结论四：若抛物线方程为y2 2px(p 0)，过（2p，0）的直线与之交于A、B两点，则OA

⊥OB。反之也成立。

结论五：对于抛物线x2 2py(p 0)，其参数方程为

2pt)，O为抛物线的顶点，显然kOP坐标为(2pt，

点O的动弦OP的斜率．

例 直线y 2x与抛物线y 2px(p 0)相交于原点和且线段AB

长为P的值．

2

2ptA)，(2ptB2，2ptB)，则tA 解析：设点A，B分别为(2ptA，

x 2pt，

2

设抛物线x2 2py上动点P

y 2pt，

2

2pt2 t，即t的几何意义为过抛物线顶2pt

2

A点，B为抛物线上一点，OB和OA垂直，

111 ，tB kOA 2． kOA2kOB

分

别

为

A，B

的坐

标

p ，p，(8p，

4p)．∴AB ∴p 2．

2

练习：

1.过抛物线y ax2(a 0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则

1111

故 4a】 pqpq

2.设抛物线y2 2px(p 0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

p p

0 ．设直线AB的方程为x my ，代入抛物线方程，得【证明：抛物线焦点为F ，

2 2

∥轴，且点xC在准线y2 2pmy p2 0．若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2 p2． ∵BC

kCO

2p

； y1

y12p ， 故kCO kAO，即直线AC经过原点O．】 x1y1

2

又由y1 2px1，得kAO

，，准线方程是x y 2 0，求抛物线的方程以及顶点坐标和对3.已知抛物线的焦点是F(11)

称轴方程．

【解：设P(x，

y) 整理，得x y 2xy 8x 8y 0，此即为所求抛物线的方程．

2

2

．

，且与准线x y 2 0垂直的直线，因此有对称轴方程 抛物线的对称轴应是过焦点F(11)y x．

， 1)，于是线段MF的中点就是抛物线的顶点，坐标是 设对称轴与准线的交点为M，可求得M( 1

(0，0)】

备选

，0)，准线l的方程是x 2y 2 0，试求该抛物线的焦点坐标和1.抛物线的顶点坐标是A(1

方程．

解：依题意，抛物线的对称轴方程为2x y 2 0． 设对称轴和准线的交点是M，可以求得M 42

55

6 5

2

．设焦点为F，则FM的中点是A，故得焦点5

坐标为F ． 再设P(x，y)是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义

得

22

4x y 4xy 4x 12y 0，即为所求抛物线的

方程．

例2 已知A，B为抛物线x2 4y上两点，且OA OB，求线段AB中点的轨迹方程． 1 44

4t2)，B 2 ．设线解析：设kOA t，OB OA kOB ，据t的几何意义，可得A(4t，

t tt

1 4 1

x 2 4t t 2 t t ，

段中点P(x，y)，则

141 y 4t2 2 t2 . 22

2 t t