【步步高】2014届高三数学大一轮复习 2.4二次函数与幂函数教案(2)

来源：网络收集时间：2026-09-12

导读：当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x显然在(－1,1]上是增函数．综上所述，λ的取值范围为(－∞，0]．题型四幂函数的图象和性质例4 已知幂函数f(x)＝xm－2m－3 (m∈N)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函

当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x显然在(－1,1]上是增函数．综上所述，λ的取值范围为(－∞，0]．题型四幂函数的图象和性质

例4 已知幂函数f(x)＝xm－2m－3 (m∈N)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函

数，求满足(a＋1)－－2a)a的取值范围．

思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m－2m－3<0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．

解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m－2m－3<0，解得－1<m<3. ∵m∈N，∴m＝1,2.

又函数的图象关于y轴对称，∴m－2m－3是偶数，而2－2×2－3＝－3为奇数，1－2×1－3＝－4为偶数， 1

∴m＝1.而f(x)＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，

∴(a＋1)－－2a)a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a.

3323

解得a<－1a<.

故a的取值范围为 a|a<－1a< .

探究提高 (1)幂函数解析式一定要设为y＝x (α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的

图象理解函数的对称性、单调性．

(2012·聊城模拟)已知幂函数f(x)＝x(m＋m)(m∈N)

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若该函数还经过点(22)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数

－1

的取值范围．

解 (1)m＋m＝m(m＋1)，m∈N，

而m与m＋1中必有一个为偶数，∴m(m＋1)为偶数．

∴函数f(x)＝x(m＋m)(m∈N)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． (2)∵函数f(x)经过点(2，2)，

－1

12－12－1

∴2＝2(m＋m)，即2＝2(m＋m).

2∴m＋m＝2.解得m＝1或m＝－2. 又∵m∈N，∴m＝1.

由f(2－a)>f(a－1)得{2－a≥0，a－1≥02－a>a－1. 3

解得1≤a<2

∴a的取值范围为[1)．

2.分类讨论思想在二次函数中的应用典例：(14分)设a为实数，函数f(x)＝2x＋(x－a)|x－a|. (1)若f(0)≥1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值；

(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．

审题视角 (1)求a的取值范围，是寻求关于a的不等式，解不等式即可；(2)求f(x)的最

小值，由于f(x)可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起；(3)对a讨

论时，要找到恰当的分类标准．规范解答

解 (1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a>0，即a<0，由a≥1知a≤－1，

因此，a的取值范围为(－∞，－1]．[3分] (2)记f(x)的最小值为g(a)，则有

f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|

a 22a2

＝ 3 x－＋，x>a ①3 3

x＋a2

－2a，x≤a ②

[5分]

(ⅰ)当a≥0时，f(－a)＝－2a，

由①②知f(x)≥－2a，此时g(a)＝－2a.[7分]

a 22

(ⅱ)当a<0时，f ＝a，

3 3

若x>a，则由①知f(x)≥.

22222

若x≤a，由②知f(x)≥2a>a.此时g(a)＝a，

2a2

综上，得g(a)＝－2a，aa<0

.[10分]

(3)(ⅰ)当a∈

6 2

∪ ，＋∞ 时，解集为(a，＋∞)； 2 2

22 a3－2a

(ⅱ)当a∈ ，时，解集为，＋∞ ；

2 3 2 (ⅲ)当a∈

时，解集为 22

a－3－2a a3－2a

a，∪ .[14分]

温馨提醒分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一．本题充分体现了分类讨论

的思想方法．

在解答本题时有两点容易造成失分：

一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最

值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论．除此外，解决函数问题时，以下几点容易造成失分： 1．含绝对值的问题，去绝对值符号，易出现计算错误；

2．分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较大小； 3．解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻.

方法与技巧

1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律

(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． (2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题

(1)ax＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是{a>0b－4ac<0 .

(2)ax＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是{a<0b－4ac<0 .

3．幂函数y＝x(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α

为常数．失误与防范

1．对于函数y＝ax＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说

明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．

2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第

二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

(时间：60分钟) A组专项基础训练

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． (2011·浙江)设函数f(x)＝{－x， x≤0，x， x>0，若f(α)＝4，则实数α等

于

( )

A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 答案 B

解析当α≤0时，f(α)＝－α＝4，得α＝－4；当α>0时，f(α)＝α＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2.

2．已知函数f(x)＝x－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于 ( )

A．3 B．2或3 C．2 D．1或2 答案 C

解析函数f(x)＝x－2x＋2在[1，b]上递增，由已知条件{f2. 3．设(

)

1＝1，fb＝b，b>1，即{b－3b＋2＝0，b>1. 解得b＝

abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c

的图象可能是

答案 D

解析由A，C，D知，f(0)＝c<0. ∵abc>0，∴ab<0，∴对称轴x＝－>0，

2a知A，C错误，D符合要求．

由B知f(0)＝c>0，∴ab>0，∴x＝－<0，B错误．

4．设二次函数f(x)＝ax－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的

取值范围是 ( )

A．(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2] 答案 D

解析二次函数f(x)＝ax－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f …… 此处隐藏：2496字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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