数学建模在医药卫生领域中的研究与应用(2)

6模型Ⅳ:瘤生长的数学模型 肿

D[ (暑 ≈ 11+一一D￣ I E, -

) 1]一一

( 4 )() 5

实例 4模型假设 )设表示在时刻 t (:肿瘤的大小 (体积

再假定永大于 1则此模型可简化为：,

重量、细胞数等 )由经验知，,肿瘤在时刻 t长的速率与当时增的大小值成正比，比例系数为 k;比例系数 k不是常数，但 它随时间 t减小，减小速率与当时 k的大小成正比，比例其此系数(≥O) a为常数。 6 1模型建立 .经分析，根据已知经验和微分方程知识，并可建立如下数学

模型：

4 5模型应用 .当工人数一1人， 0钩子数一4时， 0个由简化模型 ( ) 5式给出的结果为 D=8 .;由( )得到的精确结果为 D一 75而 3式8 .。由此可见，学模型具有的适用性和局限性。 94数

5模型 I:]无移除的简单流行病学模型 I

f愚 =V

() 1 o

随着生命科学的发展，数学在医药学中的应用，主要是采用各种数学方法建立医药学数学模型，即建立表示医药学问题中各变量之间关系的数学方程 (常见有微分方程 )。

l一a 忌6 2模型求解： .

( 1 1 )

实例 3假定感染通过一个群体内成员之间的接触而传：播，染者不因死亡、愈或隔离而被移除，所有的易感者感痊则

‘现分两种情况讨论上述模型的解： ①如果 a一0,时一o,尼为常数，E b。设 0这故 S) A 时， V—,由(O式，:则 1)得—

最终都将转变为感染者。显然，种假定对实际情况而言是这太简化了，可近似地适用于下述情况：病有高度的传染但疾

Vo

( 2 1)

力，尚未严重到发生死亡或需要隔离的程度，但例如某种上呼吸道感染。也可近似地表示这样一种疾病的流行：流行中从移除的时间一般要比感染传遍群体的时间更长。 5 1模型假设 .

由此可知，在这种情况下，肿瘤完全呈指数生长，长速率常生数为 A。

②如果口>0,时由( 1式，这 1)得 k:Ae,中，为 t~其 A—O时的 k值。

为了建立这类流行病的数学模型，对群体及其流行病学状态作如下假设：

将上式代入方程(O, 1)有一

①在时间 t时的易感人数和感染人数分别为 s和 I; ②群体是封闭性的，总人数为 N,在这 N个人中开始时只有一个感染者；

A一

分离变量后积分，得 I nV一一Ag+l (C为任意常数)一 设 t O时，=一，是有 C于一 P从而有：詈，

③该群体中各成员之间接触是均匀的，易感者转为感染者的变化率与当时的易感人数和感染人数的乘积成正比。

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维普资讯

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20 08

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的简单模拟，而是对现实对象进行分析、归纳、升华的结果，是用数学语言来精确描述，通过演绎推理、析、分求解，深化对所研究的实际对象的认识。

这就是描述肿瘤生长的数学关系式，为高姆帕茨 ( o e—称 G mprt) z函数。 6 3模型应用 .

7 2熟悉电脑编程， .完善数据处理由于数学建模的问题一般来源于实际，数据多、算量计大，经常需要编写计算机程序或利用现成的软件包处理数据 ( Mah mai lS如 te t a,AS等 )因此， c;掌握计算方法和熟练电脑操作技能是建好数学模型的重要环节。

现在利用高姆帕茨函数来研究肿瘤生长情况： ①当V=V0

O时，由于 e a l a于是式 (3成为： -t - t,￣ 1)

可见， a为不等于 0的有限值时，当只要 t足够小，即肿瘤生长的初期阶段，肿瘤是呈指数生长的。

7 3合理简化模型， .注意模型检验有的数学建模问题比较复杂，量多、学表达式复杂，变数

②当 p+。。时，一 O, 8由式 ( 3得 V的最大渐近值 1)为：一

计算机难以处理，简化模型必不可少。数学建模不同于求解一

Vo

纯数学问题，没有标准答案，模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律，否合理只能根据实际情况来检验。计算机是模拟在检验过程中大有用武之地，一般可以从模型的可行性、 有效性、适用范围等方面进行合理性评价。 总之，数学建模是一种科学思维方法，更是一门艺术和技巧，需要转变理念和创新思维。目前尚没有一个具有普遍意义的建模方法和技巧，因此，我们要亲自参与实践，体会多多总结，融合建模艺术，勇于开拓创新，数学建模为提高各种使领域的管理效益作出应有的贡献。

这是瘤长理上限容知，0故 就肿生的论。易道，>,单调递增，从而当+o一。时，+ 。

③通常把肿瘤体积增大一倍所需的时间称为肿瘤的倍增时间，记为。不难算出，在式 (2所示指数生长的情况下， 1)一

为常数，而在按高姆帕茨函数生长的情况下，则有t a=

1 1

n( A-

A e n )#l2

显然，不是常数，它随 t的增大而增大。7结束语参考文献

通过以上实例可见，学建模为医药卫生工作提供了一数

定的指导意义，有较好的借鉴作用。但实证研究表明，数学建模在实际应用中还有较大的局限性，待不断完善。有71合理应用假设， .巧解实际问题数学建模的核心在””,数学模型不是对现实系统建上而

1刘亚.数学模型在经济学中的应用.商场现代化.0 8 ( )3 2 2 0, 7:8 . 2姜启源.数学模型 .第 3版 .北京：高等教育出版社，0 3 20. 3陈国华.数学建模与素质教育 .数学的实践与认识， 0 3 3 ( ) 2 0,3 21 O 1 3 1~ 1 .

Su n t dy a d App ia i n o a h ma ia o e i g i e cne lc to fM t e tc lM d ln n M diiJa g Xin,ta in a g e l ( a g e c la d Ph r cu ia le e,Na nn 3 0 1 Gu n xi dia n a ma e tc lColg M n ig 5 0 2 )Ab ta t Th s p p r ito u e h t e aia o eig a d is i p ra c, ds u s d t e g n r l sr c i a e n r d c d t e ma h m t lm d l n t m o tn e ic se h e e a c nse so hsm o ei g,n l dn t rp r t n S p o iin,e tb ih e t s l t n t s, n lssa d t e tp ft i d l n icu ig isp e a ai, u p sto o sa l m n, ou i, e t a ay i n h s o wh l p l ig p o e s oea p yn r c s .Co bn n t h t r g d l gw hc o l w o b u f t c dcn m iig wiht eso a emo ei ihn tal n o t eo to o k i me iie s n、

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