25.1-25.2九年级数学资料锐角三角比的意义(很好,很全,很详细)

九年级 数学

25.1-25.2 锐角三角比的意义及求值

【学习目标】

1、通过实验、观察、探究、交流、猜测等数学活动，探索锐角三角比的意义。 2、理解锐角三角比的意义，记住三角比的符号，会进行三角比的文字语言与符号语言的转化。

3、会求直角三角形中指定锐角的三角比。

4、应用锐角三角比的意义及运用特殊锐角三角比值进行计算。

【主要概念】

【一】锐角的三角函数的意义 【1】正切的概念

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA．

【2】正弦和余弦的概念

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，

记作sinA，即

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锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即

【3】三角函数的概念：在直角三角形中，锐角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A的三角函数． 【二】同角的三角函数之间的关系 【1】平方关系：sin2α＋cos2α=1

【2】商数关系：【三】互余的两角的关系

任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．

典型例题：

例1、在Rt⊿ABC中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA和tanB的值. 解：在Rt⊿ABC中，

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∵AC=3,BC=2

BC

∴tanA=ACAC

tanB=BC

2 33. 2

分析：

(1)要求sinα与cosα的关系的值，而已知tanα的值，故可通过

来求值．

(2)已知tanα的值，也可通过，把要求的式子的分子，分母同

时除以cos2α转化成关于tanα的关系，这样便可求出结论．

点评：在进行三角函数有关计算时，常利用有关公式进行变换．

例3、在Rt⊿ABC中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA和cotB的值. 解：在Rt⊿ABC中，由勾股定理得 AB2=AC2+BC2 ∵BC=4,AB=5, ∴AC=AB2 BC2 2 42 3.

AC3

BC4BC4

. cotB=

AC3

∴cotA=

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例4、在Rt△ABC中，∠C=90°，若，求cosB，tanB的值．

分析：本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形求解可化繁为简，迅速得解． 解：如图，设BC=3m，则AB=5m，

例5、如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（ ）

分析：

因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°．因为BC=6，AC=8，所以AB=10．因为∠ABD=∠ACD=∠ABC，所以在Rt△ACB

中，

故正确答案为D．

答案：D 例6、计算

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分析：

这是一组有关特殊角三角函数值的计算题，计算中最关键是将它们先化成具体的数值，同时还要应用其它一些知识帮助求值，如(1)注意分母有理化，(2)应掌握整数指数幂的意义． 解：

点评：

学过锐角三角函数后，特殊角的三角函数的计算是常考不衰的内容，做这类题主要分两步：(一)代入；(二)计算．因此，特殊角的三角函数值必须牢记． 例7、若α为锐角且sinα＞sinβ，那么（ ） A．tanα＞tanβ B．tanα＜tanβ

C．tanα=tanβ D．tanα、tanβ大小关系不确定

例8、求适合下列各式的锐角α．

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点拨：所有锐角三角函数值都是正数，而且正弦和余弦值都不大于1，不符合条件的三角函数值应舍去．

例9、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC的长．

分析：

题中有30°，45°特殊角，想把它们放到直角三角形中，利用三角函数来解题．

点评：

（1）在作高线构造直角三角形时，一般不过特殊角的顶点作垂线，这样便于利用特殊角解题．

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（2）有些简单的几何图形可分解为几个直角三角形的组合，从而利用三角函数的定义求解．

例10、如图所示．在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠D=∠B=90°，求此四边形ABCD的面积．

分析：

由已知∠B=90°，∠A=60°这两个条件想到延长BC，AD，使它们相交，构成直角三角形．

例11、在矩形ABCD中DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且，AB=4，求AD．

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分析：

在矩形中AB=DC=4，可证∠α=∠1，于是条件转移到△DCE中来了，求出DE． 解：

在矩形中AB=DC=4， ∠2＋∠α=90° 又DE⊥AC， ∠1＋∠2=90° ∴∠1=∠α

点评：注意把条件集中到一起．

例12 、如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.

求：sinA，cosA，tanB，cotB的值。 解： ∵ ∠C＝90°，AC＝3，BC＝4

∴AB

∴ sinA＝

BC4AC3

＝ cosA＝＝ AB5AB5AC3BC4

tanB＝＝ cotB＝＝

BC4AC3

说明：根据锐角三角比的意义，一定要搞清楚正弦，余弦，正切，余切分别是哪

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两条边的比值。

例13、已知 为锐角，且sin ＝

5

，求 的余弦值。 13

解：画一个直角三角形ABC，∠C＝90°，∠A为 ， 如图所示

5

∵ sin ＝，∴BC︰AB＝5︰13

13

设BC＝5k，则AB＝13k

由勾股定理得AC2 (5k)2 (13k)2 ∴AC＝12k ∴cos 说明：将条件sin ＝

AC12

AB13

5

转化为一直角三角形的一条直角边与斜边之比为5︰13，13

用字母常数k表示边长为5k与13k，这是常用的方法，它体现了锐角三角比意义的灵活运用。

例14、若 为锐角，且sin ＝k—2，试求k的取值范围。 解：∵ 为锐角，∴0＜sin ＜1

∵ sin ＝k—2， ∴0＜k—2＜1 ∴2＜k＜3 说明：由于直角三角形的直角边小于斜边，所以锐角的正弦及余弦值都大于零且

小于1。

例15、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的

是（ ） 2222

A．sinB B．cosB C．tanB D．cotB

3333

答案：C

例16、在△ABC中，∠A＝90°，设∠B＝ ，AC＝b，则AB＝________(用b和 的三角比表示) 答案：b cot

例17、 已知 是锐角，且cot ＝m，则sin ＝ 。

答案：

2

1 m

例18、在正方形ABCD中，∠ABD的余弦值等于________．

答案：

2

说明：对于特殊锐角30 ，45 ，60 的三角比一定要熟练掌握。

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例19、已知

是锐角，且cos

，求tan sin 的值。 2

解：∵

是锐角，且cos

∴ ＝30 2

∴tan

＝

1，sin ＝

2∴tan 1

sin 1

11

＝ 22

说明：能根据锐角三角比的值求锐角。

例20、已知 是锐角，，且sin cos ，则 ＝ 度。 答案：45 …… 此处隐藏：2609字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……