第7章流体流动问题的有限元法

7 流体流动问题的有限元法 本章应用加权余量法，将求解域的微分方程，转 化为积分表达式，然后通过求积分的极值， 找到原问题的解。 7-1 问题的提出 如果可以找到与微分方程对应的泛函积分表达式， 则可以通过变分原理，建立有限元格式。但 是以下两种情况没有泛函： (1)解函数在求解域不连续或不可导； (2)无法找到与微分方程相对应的泛函表达式。

描述稳态不可压缩流体流动的微分方程就没有与 之对应的泛函表达式。而流体流动问题却是工 程中经常遇到的问题 (1)车辆高速运行时的气动稳定性； (2)两列高速运行的列车会车时的压力波动； (3)列车进入隧道时的压力波动； (4)建筑物的风载荷； (5)室内的通风与空调； (6)桥梁的风致振动； (7)船舶的运行阻力； (8)飞机的升力、阻力。

不论是那种原因，如果找不到与微分方程对应的 泛函表达式，那么就无法利用变分原理建立有 限元的计算格式。这时我们只有寻求另外的途 径。 这个途径就是：加权余量法。 二 加权余量法 加权余量法的基本思想：通过使试探函数与真值 的加权误差在求解域内的总和为零，以求得满 足微分方程的近似解。 设某物理问题的控制微分方程及其边界条件分别 为 f ( ) = 0 (在域 内)g ( ) = 0 (在域 的边界S上)

φ为待求函数。如果φ无法或不易直接求解，可选 一个试探函数~ = ∑ ci ii =1 n

式中 ci—待定常数； φi—试探函数项。 将试探函数带入控制微分方程及其边界条件，一 般来讲不可能正好满足方程，在域 内和边界 S上会产生误差，即 ~ f ( ) = R (在域 内) ~ g ( ) = R (在域 边界S上)b

式中R和Rb称为余量(或残数，残差，残值)。

加权余量法的基本思想：在域 内 和/或 边界S 上寻找n个线性无关的函数δWi(i=1,2,…,n),使 余量R和Rb在加权求和的意义上等于零，即

∫ R δW d = 0, ∫ Ri S

b

δWi d = 0

这里δWi称为权函数。 加权余量法所假设的试探函数并不能满足微分方 程及其边界条件，但是当加权的试探函数与真 值的误差(余量)在求解域上积分为零时，那 么试探函数就在总体上满足微分方程及其边界 条件。当n足够大时，试探函数就趋近于真解。

介绍两种常用的权函数。 1 最小二乘加权余量法 设有满足边界条件的试探函数~ = ∑ ci ii =1 n

带入控制微分方程将产生余量 ~ R = f ( )

如果希望余量R在最小二乘的意义下为最小(即 令R的平方和为最小),则构造I ( c i ) = ∫ R 2 d

使 比较

I (ci ) R 2 = ∫ R d = 2 R ci d = 0, i = 1,2,L n ∫ ci ci

∫ R δ W d = 0i

可知，权函数

通过求解

R δWi = ci

~ R f ( ) ~ R d = ∫ f ( ) d =0, i = 1,2, L n ∫ ci ci ~ 。 可求出c ,进而得到i

2 伽辽金加权余量法 如果选用试探函数 n ~ = ∑ ci ii =1

中的试探函数项φi作为权函数δWi,就成为伽辽 金加权余量法。即 ~ R δW d = R d = f ( ) d =0, i = 1,2, L n

∫

i

∫

i

∫

i

在许多物理问题控制微分方程的有限元法求解过 程中，都采用伽辽金加权余量法推导有限元计 算格式。

7-2 二维流体流动的有限元计算格式 二维稳态可不压缩流体流动方程由连续方程和动 量方程描述 u v + =0 x y (ρu 2 ) (ρuv ) 2u 2u p + = + µ 2 + 2 x x y x y ( ρuv ) (ρv 2 ) 2v 2v p + = + µ 2 + 2 x x y x y 方程中的待求变量为流体速度u,v和压力p。

根据有限元法的计算思路，首先选取插值函数来 近似描述速度u,v和压力p在单元内的变化情况。m [N ]T {U } u = ∑ N i ui = i =1 m T V v = ∑ N i vi = [N ] { } i =1 m T p = ∑ N i pi = [N ] {P} i =1

式中[N]—单元形状函数； ui, vi, pi—单元节点处的速度和压力值。

这里的插值函数，就作为加权余量法中的试探函 数；其中的形状函数，就作为加权余量法中的 权函数。 [N ]T { } [N ]T { } U V ∫∫)[N ] x + y dxdy = 0 (e T T T [N ] { } U [N ] { } V [N ] { } U ∫∫ [N ] 2 ρu + ρu + ρv + x y y ( e ) T T [N ]T {P} 2 [N ] { } U 2 [N ] { } U dxdy = 0 µ µ 2 2 x x y T T [N ]T { } V V [N ] { } U [N ] { } [N ] ρu + 2 ρv + + ρv ∫∫ x y x ( e ) T T [N ]T {P} 2 [N ] { } V 2 [N ] { } V dxdy = 0 µ µ 2 2 y x y

经过推导和简化，可得单元方程为 U [K 11 ] [K 12 ] [C1 ] { } {F1 } [K ] [K ] [C ] { } = {F } 2 22 2 V 21T [C1 ] [C 2 ]T 0 {P} 0 或 其中

[K ] { }(e)

(e)

= {F }

(e)

[K ](e)

[K 11 ] = [K 21 ] [C1 ]T

[K12 ] [K 22 ] [C 2 ]T

[C1 ] U { } , { }( e ) = { } , [C 2 ] V {P} 0

{F }(e)

{F1 } = {F2 } 0

分别为单元刚度矩阵、单元节点列向量和单元节 点受到的来自“铰链”的“节点力”。

T T T T [N ] [N ] [N ] [N ] [N ] [N ] + ρv[N ] +µ +µ [K11 ] = ∫∫ 2 ρu[N ] x y x x y y ( e )

dxdy

T T [N ] { } U [N ] { } U T {F1 } = ∫ µ [N ] dx + ∫ µ [N ] [N ][N ] {P} dy y x (e) (e) S S

[K12 ] = ∫∫ ρu[N ] [N ] dxdy, y ( e )T

[C1 ] = ∫∫ [N ] [N ]T dxdy, y ( e )

[K 21 ] = ∫∫ ρv[N ] [N ] dxdy x ( e )T

T T [N ] { } U U [N ] { } T {F2 } = ∫ µ [N ] [N ][N ] {P} dx + ∫ µ [N ] dy y x S (e) S (e)

T T T T [N ] [N ] [N ] [N ] [N ] [N ] [K 22 ] = ∫∫ ρu[N ] +µ + 2 ρv[N ] +µ x x y y x y ( e ) [C 2 ] = ∫∫ [N ] [N ]T dxdy, y ( e )

dxdy

将 [K ]( e ) 、 }( e ) 和{F }( e ) 在求解区域内分别按节 { 点号叠加，就可以构成整个流场的有限元计算 的总体方程

[K ]{Ψ} = {F }

其中 [K ] = ∑ [K ]e =1 E0

E0

(e)

— 按节点号叠加的总流场刚度矩阵；

{Ψ} = ∑ { }(e ) — 按节点号叠加的总体待求节点速度u, v和压力p;e =1 E0

{F } = ∑ {F }(e ) — 按节点号叠加的总外作用。e =1

E 0 — 求解区域单元总数。

7-3 流场有限元分析的几个特殊问题 1 速度和压力插值函数的阶次。 速度插值函数要高于压力一阶，否则方程会出现 “病态”。 2 主对角线元素为零。 采用罚函数法，将压力用速度表示。求出速度后， 再计算压力。 3 刚度矩阵不对称。 原来介绍的压缩存储方法全部没有用。 4 非线性方程组 需要迭代计算。

小结： (1)本章讨论了利用有限元法求解非结构问题 的又一个例子—流体流动问题的计算。所用方 法为加权余量法，通过将试探函数带入控制微 分方程，基于使所产生的误差(余量)在加权 平均的意义上等于零的思 …… 此处隐藏：2125字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……