初一数学竞赛讲座⑼应用问题选讲(2)

解：设定价为每件（100-x）元，则销售量为1000（1+0.5％x）件。利润为 （100-x-80）×1000（1+0.5％x）

=500×（20-x）（2+x）。

因为（20-x）+（2+x）=22为一定值，故当20-x=2+x即x=9时利润最高。此时每件定价为100-9=91（元）。

2.2∶3。

解：窗户的框架长为 3a+2b，而 ab=4是一个定值，从而3a×2b=6ab=24也是一个定值，故当3a=2b即a∶b=2∶3时窗户框架所用材料最省。

3.32000cm

解：设木盒的长、宽、高分别为xcm，ycm，zcm，则它的容积为V=xyzcm。因为

xy+2xz+2yz=40×80=3200

为一定值，故它们的积

xy×2xz×2yz=4（xyz）=4V，

在xy=2xz=2yz时最大，从而V也最大，此时有x=y=2z。经计算得x=40，y=40，z=20。

具体制作方式如下：先取原木板的一半（40cm×40cm）作为木盒的底面，再将剩下的一半分成 20 cm×40 cm大小的四等份，每份作为木盒的一个侧面就可以了。

4.1∶1。

解：设四壁的造价是a元/m，则底面造价为2a元/m。又设其底面边长为xm，高为ym，则有

xy=64000。

总造价为 3322222

a×4xy+2a×x2

=2a（2xy+x）=2a（xy+xy+x）。

因为xy×xy×x=（xy）=64000为一定值，故当xy=xy=x即x∶y=1∶1时，总造价最省。

5.解：设A城化肥运往C村x吨，则运往D村（200-x）吨；B城化肥运往C村（220-x）吨，运往D村（80+x）吨，总运费y元，则

y=20x+25（200-x）+15（220-x）+22（80+x） 2222222

初一数学竞赛系列讲座

=2x+10060。

又易知0≤x≤200，故当x=0时，运费最省，为10060元。

运输方案如下：A城化肥运往C村0吨，运往D村200吨；B城化肥运往C村220吨，运往D村80吨。

6.98，94。

解：设某一学生前4次的平均分为x分，第5次的得分为y分，则其5次总分为

4x+y=5×90=450。

于是y=450-4x。显然90＜y≤100，故

90＜450-4x≤100，

解得87.5≤x＜90。于是两个学生前4次的平均分分别为88分和89分。第5次得分分别为 450-4×88=98（分）和450-4×89=94（分）。

7.90根。

解：每一根7300毫米的钢筋有如下三种损耗较小的截法：

290×2+150×1=7300， ①

210×2+150×2=7200， ②

210×2+290×2=7100。 ③

设按方案①截得的钢筋有x根，按方案②截得的钢筋有y 根，按方案③截得的钢筋有z根，则长为290，210，150毫米各有100根，即

2x+z=x+2y=2y+2z=100。

于是x=40，y=30，z=20。一共至少用去长为7300毫米的钢筋90根。

8. 30，20， 50。

解：x+y+z=100， ①

400x+600y+400z≥44000， ②

800x+200y+400z≥48000。 ③

由②得 2x+3y+2z≥220。 ④

由③得 4x+y+2z≥240。 ⑤

由④-①×2，得y≥20。由⑤-①×2，得2x-y≥40。

由①得 z=100-x-y。

成本为

6x+5y+4z

=6x+5y+4（100-x-y）

=400+2x+y

=400+2y+（2x-y）≥400+40+40=480。