高等数学 第五章 定积分 习题课

高等数学

定积分 习题课一 . 定义 :

lim lim ∫a f ( x ) dx = λ →0 ∑ f (ξ i ) xi = λ →0 ∑ f ( x ) dx .b i =1 [a, b]

n

几何意义 :二 . 性质 :

∫a f ( x ) dx = 曲边梯形的面积 sb b

b

.

1. 2.3. 4.

∫a ( f ± g ) = ∫a f ± ∫a g ∫a k f = k ∫a f∫a f = ∫a f + ∫c f ∫ab b c b b b

b

5 . 在[a , b]上f ( x) ≥ 0 f ( x) ≤ 0

f ( x ) ≥ g( x )

∫a f ≥ 0 b ∫a f ≤ 0 b b ∫a f ≥ ∫a g1

b

dx = b a

∫a f

b

≤∫ fa

b

高等数学

6 . 在 [ a , b ] 上 , m ≤ f ( x) ≤ M

m (b a ) ≤ ∫ f ≤ M (b a )a

b

分 值 理 7 . (积 中 定 )

f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续

在 [ a , b ] 上至少存在一点 ξ , 使

∫a f (x)dx = f (ξ)∫adx = f (ξ)(b a)* 8 . 改变被积函数在有限多 个点上的函数值 ,不影响积分值 .2

b

b

高等数学

三 . 积分上限函数

Φ ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ f (t)dt = ∫ fa

x

x

x

a

a

性质 : 如果 f ( x ) 在 [ a , b ] 连续 , a ≤ x ≤ b , x f (t)dt ′ = f (x). 那么 Φ′( x ) = ∫ a g(x) f (t)dt ′ = f ( g(x))g′(x) 还有 : ∫a b f (t)dt ′ = f (h x))h(x) ′ ( ∫ (x) h g(x) f (t)dt ′ = f ( g(x))g′(x) f (h x))h(x) ′ ( ∫ (x) h 3

高等数学

四 . Newton - Leibnitz 公式 ( 微积分基本定理 ) 条件 : f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续b

结论 :五. 换元法

∫

b f (x)dx = F(x) a a

其中 F ( x ) 为 f ( x ) 的一个原函数 .

1.

∫a f ( x ) dx = ∫a g( ( x )) ′ ( x ) dx = ∫α g(u) dub b

β

f ( x ) ≡ g ( ( x )) ′ ( x ) , α = (a ) , β = (b ) .

2

∫a f ( x ) dx ====== ∫α f ( (t )) ′ (t ) dtb

x = ( t )

β

( t ) 单调 , 可导 .

= 1 (a ) , β = 1 (b ) . α4

换 同 换 ! 元 时 限

高等数学

六. 分部积分法

∫a u( x ) dv( x ) =

b

b u( x )v ( x ) a

∫ v ( x ) du( x )a

b

条件 : u( x ) , v ( x ) 有一阶连续导数 .

注意列表计算方法 :

D

D 1

( x)

ψ ( x) 5

高等数学

七 . 反常积分

1 . 无穷区间上反常积分

∫a

+∞

f ( x ) dx = F ( x ) a

+∞

F(+∞ = lim F(x) )x→ +∞

反常积分收敛与发散的 概念 .

2 . 无界函数的反常积分 (瑕积分)x = b 是 f ( x ) 的无穷间断点

∫a

b

f ( x ) dx = F ( x ) a

b 0

F(b 0) = lim F(x)x→ 0 b

反常积分收敛与发散的 概念 .6

高等数学

八 . 有用结论

1.

∫ a

+a

2 ∫0 f ( x ) dx f ( x ) dx = 0π π

+a

f ( x ) 是偶函数f ( x ) 是奇函数

2 . I n = ∫ 2 sin n x dx = ∫ 2 cos n x dx0 0

( n 1) ( n 3) 4 2 n ( n 2) 5 3 = ( n 1) ( n 3) 3 1 π n ( n 2) 4 2 2

n 为奇数 n 为偶数7

高等数学

3.

1 (收 ) 敛 = p 1 +∞ dx = ( p积 ) …… 此处隐藏：5字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……