【精品一轮 特效提高】2014高考总复习(理数)-题库：8.8 立体几何(2)

连接AF，由于FG∥BC，FG＝，

2

1

在 ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC，且AM＝，

2因此FG∥AM且FG＝AM，

所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA. 又FA 平面ABFE，GM 平面ABFE， 所以GM∥平面ABFE.

法二 因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°， 所以∠EGF＝90°，△ABC∽△EFG， 由于AB＝2EF，所以BC＝2FG. 取BC的中点N，连接GN，

因此四边形BNGF为平行四边形，所以GN∥FB

.

在 ABCD中，M是线段AD的中点，连接MN， 则MN∥AB.

因为MN∩GN＝N，AB∩FB＝B， 所以平面GMN∥平面ABFE. 又GM 平面GMN， 所以GM∥平面ABFE.

(2)法一 因为∠ACB＝90°，所以∠CAD＝90°， 又EA⊥平面ABCD， 所以AC，AD，AE两两垂直．

分别以AC，AD，AE所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设AC＝BC＝2AE＝2，则由题意得

A(0,0,0)，B(2，－2,0)，C(2,0,0)，

→

→

E(0,0,1)，所以AB＝(2，－2,0)，BC＝(0,2,0)． 又EF＝1

2

AB，

→

所以F(1，－1,1)，BF＝(－1,1,1)． 设平面BFC的法向量为m＝(x1，y1，z1)， →→

则m·BC＝0，m·BF＝0， 所以

y1＝0， x

1＝z1，

取z1＝1，得x1＝1，所以m＝(1,0,1)．

设平面ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)， →→

则n·AB＝0，n·BF＝0， 所以

x2＝y2， z2＝0，

取y2＝1，得x2＝1，则n＝(1,1,0)， 所以cos〈m，n〉＝

m·n|m|·|n|＝1

2

.

因此二面角A­BF­C的大小为60°. 法二 由题意知，平面ABFE⊥平面ABCD， 取AB的中点H，连接CH， 因为AC＝BC，所以CH⊥AB， 则CH⊥平面ABFE.

过H向BF引垂线交BF于R，连接CR， 则CR⊥BF，

所以∠HRC为二面角A­BF­C的平面角． 由题意，不妨设AC＝BC＝2AE＝2. 在直角梯形ABFE中，连接FH， 则FH⊥AB，又AB＝22， 所以HF＝AE＝1，BH＝2， 因此在Rt△BHF中，HR＝63

. 由于CH＝1

2

AB＝

2，

所以在Rt△CHR中，tan∠HRC＝

2

3， 63

因此二面角A­BF­C的大小为60°.

16．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． (1)求证：AF∥平面BCE； (2)求证：平面BCE⊥平面CDE；

(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

解析 方法一：

(1)证法一：取CE的中点G，连接FG、BG. 1

∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE，

2∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB.

1

又AB＝DE，∴GF＝AB.又DE＝2AB，

2∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG. ∵AF 平面BCE，BG 平面BCE， ∴AF∥平面BCE.

证法二：取DE的中点M，连接AM、FM，

∵F为CD的中点，∴FM∥CE.

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB. 1

又AB＝DE＝ME，

2

∴四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE. ∵FM、AM 平面BCE，CE、BE 平面BCE， ∴FM∥平面BCE，AM∥平面BCE. 又FM∩AM＝M，∴平面AFM∥平面BCE. ∵AF 平面AFM， ∴AF∥平面BCE

.

(2)证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点， ∴AF⊥CD.

∵DE⊥平面ACD，AF 平面ACD，∴DE⊥AF. 又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE. ∵BG 平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE.

(3)在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连接BH， ∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE. ∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．

设AD＝DE＝2AB＝2a，则FH＝CFsin45°＝

2

a， 2

BF＝AB2＋AF2a2＋3a2

＝2a，

FH2

在Rt△FHB中，sin∠FBH＝.

BF4∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为方法二：

设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，

2

. 4

B(0,0，a)，D(a，3a,0)，E(a3a,2a)．

3 3

∵F为CD的中点，∴F ，a，0 .

2 2

3 3

(1)证明：→AF＝ ，a，0 ，→BE＝(a3a，a)，→BC＝(2a,0，－a)，

22 1

∵→AF＝→BE＋→BC)，AF 平面BCE，∴AF∥平面BCE.

2

3 →3→

(2)证明：∵AF＝ ，a，0 ，CD＝(－a3a,0)，→ED＝(0,0，－2a)，

2 2 ∴→AF·→CD＝0，→AF·→ED＝0，∴→AF⊥→CD，→AF⊥→ED. ∴→AF⊥平面CDE，又AF∥平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE.

(3)设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，由n·→BE＝0，n·→BC＝0可得

x＋3y＋z＝0,2x－z＝0，取n＝(1，－3，2)．

3 3又→BF＝ ，a，－a ，设BF和平面BCE所成的角为θ，则

2 2 |→BF·n|2a2

sinθ＝＝.

→42a·22|BF|·|n|∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为

2

. 4