【精品一轮 特效提高】2014高考总复习(理数)-题库：8.8 立体几何

8.8 立体几何中的向量方法（Ⅱ）----求空间角、距离

一、选择题

1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是( )．

A．平行 B．相交

C．异面垂直 D．异面不垂直 解析 建立坐标系如图，设正方体的棱长为2， 则A(2,0,0)，M(0,0,1)，

→

O(1,1,0)，N(2，t,2)，NO＝(－1,1－t，－2)， →→→

AM＝(－2,0,1)，NO·AM＝0，则直线NO、AM的 位置关系是异面垂直． 答案 C

→1

2．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝1，N为B1B的中点，

2→

则|MN|为( )．

2161515A.a B.a C. D.6663

解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则A(a,0,0)，C

1(0，

→

a

a，a)，N a，a，.

2

设M(x，y，z)，

→1

∵点M在AC1上且AM＝MC1，

2

1

∴(x－a，y，z)＝－x，a－y，a－z)

22aa∴x＝，y＝z＝333 2aaa 得M ，， ，

333 →∴|MN|＝ 答案 A

→→

3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为( )．

1422A.5 C.5 D. 9993解析 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，

→

a 2 aa 221 2 2

a－ ＋ a－＋ － ＝.

3 23 6 3

DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角

→

→

坐标系(如图)，可知CM＝(2，－2,1)，D1N＝

(2,2

，－1)， →→

145

cos〈CM，D1N〉＝－，sin〈CM，D1N〉＝，

99答案 B

→

→

4．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )

32

A.3 D．32 22

22

解析 两平面的一个单位法向量n0＝ －0，，故两平面间的距离d＝

2 22→

|OA·n0|＝2答案 B

5．已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝( )．

A．2 B.2 D．1 解析 如图，建立直角坐标系D­xyz，由已 知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)， 由AB＝2解得t＝2. 答案 C

6．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB1

＝，则GB与EF所成的角为( )．4

A．30° B．120° C．60° D．90° 解析 如图建立直角坐标系D­xyz， 设DA＝1，由已知条件

G 0，0

，

，B(1，1，0)，

1 2

E 1，1，，F 1，0 ，

→→

1 1 1

GB＝ 1，1，－，EF＝ －0，－

2 2 4

→

→

→→

→→

→

→

1 2 3 4

cos〈GB，EF〉＝

GB·EF|GB||EF|

0，则GB⊥EF.

答案 D

7．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角

B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为(

)

A.3 C．2 D.

2 2

解析 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，

C1(0,0,2)，D(1,0,1)

设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，

CB1＝(0,2,2)，

设平面B1CD的一个法向量为m＝(x，y，z)．

m·CB1＝0则 m·CD＝0

2y＋2z＝0

x＋az＝0

，令z＝－1，

得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)， 则由cos60°＝

m·n11

，得2＝，即a＝2， |m||n|a＋22

故AD＝2. 答案：A

二、填空题

8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上．当∠APC最大时，三棱锥P－ABC的体积为________．

解析 以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系(如

图)，设BP＝λBD1，可得P(λ，λ，λ)，

1λ＝APC

最大， 再由cos∠APC

31111

故VP－ABC＝××1×1×＝.

32318

1

答案 18

9．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段

DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值为________．

→＝(－a,0，a)，直线AD的一个单位方向向

解析 设M(0，m，m)(0≤m≤a)，AD11 22 →＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD的距离d＝量s0＝ －0，，由MD11

2 2 →2→2

|MD1|－|MD1·s0|＝

m＋a－m22

1

－2

a－m2

＝

3212

m－am＋，根22

－aa3 a 2a11

式内的二次函数当m＝－＝时取最小值 －a×2＝a2，故d的最小

332 3 3232×23值为a.

3

3a 3

答案

8

10．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ

9＝________.

8a·b2－λ＋4

解析 由已知得＝＝，

9|a||b|5＋λ2·9∴8 5＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝

2 55

2. 55

答案 －2或

11．正四棱锥S ­ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且

SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为________．

解析 如图所示，以O为原点建立空间 直角坐标系O­xyz.

设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，

则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，

aa

P 0，－.

22

→→→

aa

则CA＝(2a,0,0)，AP＝ －a，－，CB＝(a，a,0)．

22 设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，

→

则cos〈CB，n〉＝

→

CB·n→

＝

1

＝.

2a222

a

|CB||n|

→

∴〈CB，n〉＝60°，

∴直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°. 答案 30°

12．已知点E、F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________． 解析 如图，建立直角坐标系D­xyz， 设DA＝1由已知条件A(1,0,0)， 1 2

E 1，1，，F 0，1，，

3 3

→→1 2

AE＝ 0，1，，AF＝ －1，1，，

3 3 设平面AEF的法向量为

n

＝(x，y，z)，

面AEF与面ABC所成的二面角为θ， → n·AE＝0，由

→ n·AF＝0

1

y＋＝0， 3得

2

－x＋y＋＝0. 3

令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3) 平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1) cos θ＝cos〈n，m〉＝

32，tan θ＝311

2

答案

3三、解答题

13. 如 …… 此处隐藏：2606字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……