横截式方程在圆锥曲线中的妙用

直线方程横截式在圆锥曲线中的妙用

贵州省玉屏民族(高级)中学 (554000) 敖复文

在给学生讲解直线斜截式方程时，时有学生提问：既然可以用y轴上的截距表示直线方程（即斜截式），那么是否可以用x轴上的截距表示直线方程？当然答案是肯定的，不仅可以，而且它在圆锥曲线中还有着非常巧妙的应用。

已知直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b，则其截距式方程为

xy

1（a 0,b 0） ab

可变形为y

b

○1 x b，即斜截式方程式 y kx b

a

其中k为斜率，b为y轴上的截距，且不受b 0的限制；当k 0时，方程为y a，表示平行于x轴的直线，缺点是不能表示垂直于x轴的直线。

还可变形为x 其中h

aa

2 y a，令h ，则为 x hy a ○

bb

1

，a为x轴上的截距，且不受a 0的限制；当h 0时，方程为x a，表k

示垂直于x轴的直线，缺点是不能表示平行于x轴的直线。

于是，在解题的过程中，可根据直线的位置状况自由地选择方程的形式：若根据题意直线不能垂直于x轴，可选择○1式；若根据题意直线不能平行x轴，可选择○2式。可见，方程○2与○1弥补了各自的缺陷，二者珠联璧合，形成了互补。在直线和圆锥曲线（特别是椭圆和抛物线）的内容中，有很多题型涉及到的直线是可以垂直于x轴而不能平行于x轴的，这时设直线的方程如用斜截式就必须考虑斜率是否存在，即必须分斜率存在和不存在来设方程，增加了问题的难度。如果我们用方程○2，那么就避免了烦琐的分类讨论。

1式主要用直线的纵截距表示，我们称之为斜截式；○2式主要用直线的横截距表示，○

为区别于○1式，我们不妨称之为“横截式”（受到“截距式”名称的启示）。且看横截式

x hy a在圆锥曲线中的妙用。

例1 [教材P.119] 过抛物线y 2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2 p。

分析：由已知，直线可以垂直于x轴，但不可能平行于x轴，如直线方程设为斜截式，则需考虑斜率是否存在两种情况分类讨论，比较麻烦，故用横截式表示为好。

2

2

证明：由题意知，直线是不可能平行于x轴的，且过焦点F(示为x hy

2

p

,0)，故用横截式方程表2

p 2

代入到y 2px中，得

y2 2phx p2 0

由韦达定理，得 y1y2 p

例2 [教材P.123] 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过P和抛物线顶点的直线交准线于M点，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。

分析：如抛物线关于x轴对称，则直线可能垂直于x轴，但不可能平行于x轴，需考虑直线的斜率是否存在，故用横截式表示直线的方程比较理想。

证明：作图如右，不妨设抛物线方程为y 2px(p 0)，

2

2

pp

,0)，准线为x ，因直线可能垂直于x轴， 22

p

故设其方程为x hy ，P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x3,y3)。

2

则其焦点为(

代入到y 2px中，得 y 2phx p 0

2

2

2

p2

由韦达定理，得 y1y2 p y2

y1

2

直线OP的方程为y

py1

x，把M点的坐标x3 代入其中，得 x12

py1py1p2

y3 2

y12x1y122p

y3 y2

MQ x轴，即直线MQ平行于抛物线的对称轴。

例3 [福建高考模拟试题] 如图，线段AB过点M(m,0)，m为正数，且点A、B到x轴的距离之积为4m，抛物线C以x轴为对称轴，且经过O、A、B三点（其中O为坐标原点）。

（1）求抛物线C的方程；

AM

2，求直线AB的方程。 BM

分析：线段AB可以垂直于x轴，但不可能平行于x轴，故直线AB的方程用横截式来

（2）若m 1，

表示可以避免讨论，比较恰当。

解：（1）由题意，设抛物线C的方程为y 2px(p 0)，直线AB的方程为x hy m，

2

A(x1,y1)、B(x2,y2)，且y1y2 0。

把x hy m代入y 2px中，得

2

y2 2phx 2pm 0

由韦达定理，得y1y2 2mp， |y1y2| | 2mp| 4m 解得p 2 p 0 p 2 故抛物线C的方程为y 4x。 （2）

2

yAM|y1|

1 2 y1 2y2 BM|y2|y2

2

又由（1）知y1 y2 y2 ph 4h，y1y2 2y2 2pm

4

h

4

y 1或x y 1。 44

直线AB

的方程为：x

例4 （广州高考模拟试题） 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，过左焦点的

OQ 0，求离心率e的范围。 直线与C交于P、Q两点，O是原点，若OP

分析：由题意可知，直线PQ是可以垂直于x轴的，

但不可能平行于x轴，故直线PQ的方程用横截式表示比较恰当。

x2y2

解：设椭圆C方程为2 2 1，左焦点为C( c,0)，

ab

令直线方程为x hy c，P(x1,y1)、Q(x2,y2)。 把x hy c代入到C方程中，整理得

(a2 b2h2)y2 2b2hcy b4 0

2b2hc b4

， y1 y2 2,y1y2 2

a b2h2a b2h2

a2c2 h2a2b2

。 x1x2 (hy1 c)(hy2 c) hy1y2 hc(y1 y2) c 222

a hb

2

2

0 OQ 0 x1x2 y1y2 OP

a2c2 h2a2b2 b4

即 2 0 22222

a hba hba2c2 b4

整理得 h 0 22

ab

2

c2c

ac b a c，即2 1 0

aa

2

2

2

解得e

c ， a。 故离心率e

的范围是

例5 [贵州中学生数学竞赛题（2007年1月7日） 如图，

x2

y2 1的左焦点F1 已知直线l过椭圆5

且与其交于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，

若F2A F2B=0，求 ABC的面积。

分析：显然直线l是不能平行于x轴的，但它可能垂直于x轴，故用横截式表示较好。

解：由已知，c 2，焦F1、F2坐标分别为（－2，0）、（2，0）。

x2

y2 1中，得 设直线l的方程为x hy 2，代入到5(h2 5)y2 4hy 1 0

设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则

4h 1

y1 y2 2,y1y2 2

h 5h 5

F2A

F2B (x1 2)(x2 2) y1y2 x1x2 2(x1 x2) 4 y1y2

(hy1 2)(hy2 2) 2[h(y1 y2) 4] y1y2 4 (h2 1)y1y2 4h(y1 y2) 16h2 116h2 2 16 0

h 5h2 5 h2 79,h

AB 21

又 AB边上的高，即点F2到直线l

的距离d

ABC的面积s

1120

AB d 222121

一般学生在解此类题型时，基本都采用斜截式设直线方程，常常会忘记补充直线垂直于

x轴的情形，从而造成漏解；也存在一些学生根本不习惯分类讨论的方法，从而造成不必要的错误。而上述的横截式方程x hy a恰好能弥补斜截式的缺陷，与之交辉相映，形成互补。由于有了斜截式方程的基础，学生对它的理解和接受应该不存在困难，本人认为这是一种非常好的方程形式，值得向学生们推荐。