计算方法试题及答案(2)

24

回代求解得

x4

14

2

2 , x3

2

(6 1 x4) 2

x 3 0x3 1x4

1 ， x5 0x2 2x3 0x4

21

1

1

1方程组的解向量为x (1,1,2,2)T

.

6．满足插值条件

p(0) f(0),

p(1) f(1)

p (0) f (0),p (1) f (1)

的3次插值多项式p3(x).造重节点差商表:

7

由Newton插值公式得

p3(x) 0 0 (x 0) 1 (x 0)(x 0) ( 1)(x 0)(x 0)(x 1)

2x x

1

23

7．由于 1 e0dx exdx e1dx

11

e，要使积分近似值具有4位有效数字，即截断误差应

000满足

4

1 0 h (4)

4

180 f( )

1 2

2

10

1

而 maxf

(4)

(x) maxex

e0 x 1

0 x 1

，要使上式成立，只需

h

4

2880

e

14

2

10

1

将h (1 0)/n代入得到

n

4

e3

1440

10

1.172

取n 2，这样复化Simpson公式共需要2n 1 5个求积节点. 计算数据列于表中

积分值

1x

edx

0.56

(1.00000 4 1.28402 2 1.64872 4 2.11700 2.71828)

1.7183

8．Euler预-校法的计算格式为

y(0)n 1 yn hf(xn,yn) h

yn 1 yn 2 f(x(0)

n,yn) f(xn 1,yn 1)

8

将h 0.1,f(x,y) x y2 代入，则

y(0) y n 1n 0.1(x2n yn) y.05

x2(0)n 1 yn 0n yn xn 1 yn 1

2

代入x0 0,y0 1得

[0][0]

y1 1.1 ， y2 1.2499

y(0.1) y 1 1.1155 y(0.2) y2 1.27089. 解 对于x [a,b]，由Taylor公式

f(x) f(a) f (a)(x a) f ( 1)2

2!

(x a)， 1 (a,b) f(x) f(b) f (b)(x b)

f ( 2)2

2!

(x b)， 2 (a,b)

得到表达式

f(x)

f(a) f(b)

(a)(x a) f (b)(x b)

( 1)2

f 2

f 4

(x a)2

f ( 2)4

(x b)2

对上式两端积分，计算得到

b

b a

f(x)dx

a2[f(a) f(b)]

1(b a)2

4

[f (a) f (b)]

1

b4

a

f ( )2

1)(x adx

14

bf ( 2

a

2)(x b)dx

这样得到数值求积公式

b

a

f(x)dx

a b2

[f(a) f(b)]

14(b a)2

[f (a) f (b)]

以及求积余项

R[f]

1b14

a

f ( )(x a)2

1dx

4

bf ( 2

a

2)(x b)dx

余项中的两项均满足第二积分中值定理条件，于是有

R[f]

f ( 1)

ba)2

4a

(x dx

f ( 2)2

4

ba

(x b)dx

(b a)3

12

f ( 1) f ( 2) ,

1, 2 (a,b)

因二阶导函数连续，利用介值定理，存在介于 1和 2间的点 ，使得有

f ( 1) f ( 2)

2

f ( ),

(a,b)

结合以上两式，有求积余项 R[f]

(b a)

3

6

f ( ), (a,b)

9