计算方法试题及答案

计算方法2007-2008学年第一学期试题

1 填空（15分）

***

0.8009都是四舍五入得到的，则相对误差er(x1x2) ______ 1） 设近似数x1* 9.2270，x2

2）拟合三点A(3,1), B(1,3)，C(2,2)的平行于y轴的直线方程为3) 近似数x* 0.0351关于真值x 0.0349有为有效数字. 4） 插值型求积公式 f(x)dx

11

n 1

k 1

Akf(xk)至少有______次代数精确度.

5) Simpson(辛浦生)求积公式有______次代数精确度.

2. （10分）已知曲线y x3 2.89 与y 2.4x2 0.51x在点（1.6,6.9）附近相切，试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值xn 1，当xn 1 xn 10 5误差小于10 4时停止迭代。

3．（10分）用最小二乘法确定y ax2 blnx中的常数a和b，使得该函数曲线拟合于下面四个点 (1，2.01), (2，7.3), (3,16.9), (4,30.6) (计算结果保留到小数点后4位) 4.(10分)

2

用乘幂法求矩阵A 10

3

336

2 4 1

的按模最大的特征值 1的第k次近似值 1(k)及相应

的特征向量x1(k)。要求取初始向量u0 (1,2,1)T，且 1(k) 1(k 1) 0.1。

5．（10分）设有方程组

a 1 3

1a2

3 x1 b1

2x2 b2 a x3 b3

(a 0)

（1） 写出与Jacobi迭代法对应的Gauss-Seidel方法的迭代格式；

（2） Jacobi方法的迭代矩阵为：

（3） 当参数a满足什么条件时，Jacobi方法对任意的初始向量都收敛。

y f(x)p(xi) f(xi),p(xi) f(xi)p(x)，并写出截断误差

R(x) f(x) p(x)的导数型表达式（不必证明）。

1

7．（15分）设有积分I

2

1

xedx

3x

1）取7个等距节点（包括端点1和2），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4位）；

2）用复化simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。

8．（10分） 给定初值问题

y'

y

2

x

0,y(1) 1,

1 x 1.4

a) 写出欧拉（Euler）预估-校正的计算格式； b) 取步长h 0.2，求y(1.4)的近似值。

9．（10分）

用迭代法的思想证明：

lim

k

2

（等号左边有k个2）。

2008 －2009 学年第2学期试题

1．（每小题3分，共15分）填空

（1） 2n个求积节点的插值型求积公式，其代数精确度至少为________次； （2） 为提高数值计算精度，当正数x 充分小时，应将

1 cosxsinx

改写为

____________________；

（3） 拟合三点 A（0 ，1） ， B（1 ，3） ， C（2 ，2）的平行于y轴的直线

方程为_______________； （4）求积公式

1) 1

f(xdx 2f(0)有______次代数精确度；

（5）求方程x f(x)的根的Newton迭代格式是____________________。

2．（15分）曲线y x3

2.4x2

0.51x 2.89在点x0 1.6附近与x轴相切于 点，试用Newton迭代法求 的近似值x5

n 1，使xn 1 xn 10

。

3．（10分）求一经过原点的抛物线，使其按最小二乘原理拟合于如下数据

并求平方逼近误差 2.（运算结果小数点后至少保留4位）

2

解：（1）矛盾方程组为：

（2）正规方程组为：

（3）所求抛物线为：

（4）平方逼近误差 2：

3

4．（10分）用乘幂法求矩阵A

4

(k)

(k 1)

2 (k) k的按模最大的特征值的第次近似值及相应的特征向 11 5

T

(k)

量x1。要求取初始向量u0 (1,1)，且

1 1

0.001。

解：乘幂法的计算格式为：

计算过程列表如下：

所以： 1= ，x1

(k)

(k)

t(1.000,)

T

,t 0

5（10分）试用三角分解求解线性方程组

1 0 1 0

0121

2040

0 1 3 3

x1 5

x2 3

x3 17

x4 7

（1）将系数矩阵进行三角分解：

（2）用三角分解法求该方程组的解：

6．（10分）已知四阶连续可导函数y f(x)的如下数据：

3

试求满足插值条件 p(xi) f(xi),p (xi) f (xi)

的三次插值多项式p(x)，并写出截断误差R(x) f(x) p(x)

的导数型表达式(不必证明)。

7．（15分）若用复化Simpson公式求积分 1

ex

0dx的近似值，为使该近似值有4位

有效数字，问至少应知道多少个结点的ex

值？并由此求 1

ex

dx的近似值.

（小数点后至少取4位）.

解:（1）复化Simpson公式的截断误差为:

（2）计算所需要的节点数目：

（3）按（2）中的节点数计算 1

ex

0dx。

8．（10分）给定初值问题

y x y2

, y(0) 1

（1）写出欧拉(Euler)预估- 校正法的计算格式。

（2）取步长h=0.1，求y(0.2)的近似值（小数点后至少保留4位）。

9．（5分）设f(x)在[a,b]有二阶连续导数，试建立如下数值积分公式

b a

f(x)dx

a b2

[f(a) f(b)]

14

(b a)2

[f (a) f (b)]

并证明有余项表达式R[f]

16

(b a)3

f ( ), (a,b).

07/08第一学期试题参考答案： 1: (1)6.78×10－5, (2) x=2 (3) 2 （4）n-2 (5) 3

2. 切线斜率相等：3x2

4.8x 0.51，3x2

4.8x－0.51 0 牛顿迭代格式：x3x2

n 4.8xn－0.51

n 1 xn

6xn 4.8

4

取x0 1.6，得x1 1.70625,x2 1.70002,x3 1.70000,x4 1.70000

a 2.01

3. 矛盾方程组： 4a bln2 7.3

9a bln3 16.9

16a bln4 30.8正则方程组： 354

34.84081 a 672.91 34.840813.60921 b 66.04713

a 1.9997,b 1.0042

)4. 取初始向量V

(0)

(1

21)T

，用乘幂法公式进行计算，且取

(k)V(k 11

1

V(k)

，得1

V

(4)

(13516,27032,20226)T

1 11.0，x

5.(1)迭代格式为

x(k 1)1 1 b1 x(k)(k)

2 3x3

a x(k 1)2

1 b(k 1)(k)

2 x1 2x3

a

x(k 1) 1b(k 1)(k 1)

3a

3 3x1 2x2

(2)Jacobi迭代法的迭代矩阵为

0 1

3

aa BJ

1 0 2 aa 3 20 a

a

13a

a(3)

I B2

4

J

1a a 2

2

a

32a

a

谱半径 BJ

2a

.由 BJ 1得

a 2

此时Jacobi迭代法对任意初始向量都收敛. 4)

6. p(x) x3

2x 1,R(x) f(x) p(x) f

(( )

24!

(x 1)(x 2)2

, (x) (1,2)7．20.2174 R(f) 0.0048 8．（1）Euler预-校法的计算格式为

5

2

(0)yn yn 1 yn hf(xn,yn)＝yn h

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