平行关系的性质 教案 2017-2018学年 高中数学 北师大版 必修2

2017-2018学年 高中数学 北师大版 必修2 教案

教学设计

5．2平行关系的性质

导入新课

思路1.(情境导入)

三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在的平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？下面我们讨论平面与平面平行的性质问题．

思路2.(直接导入)

前面学习了平行关系的判定，本节我们学习平行关系的性质，教师点出课题．

推进新课

新知探究

提出问题

①回忆空间两条直线的位置关系.

②若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系.

③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.

④试证明直线与平面平行的性质定理.

⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？

⑥总结应用线面平行性质定理的要诀.

活动：问题①引导学生回忆两条直线的位置关系．

问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力．

问题③引导学生进行语言转换．

问题④引导学生用排除法．

问题⑤引导学生找出应用的难点．

问题⑥鼓励学生总结，教师归纳．

讨论结果：①空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面．

②若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交(可用反证法证明)，

所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面．

怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢(排除异面的情况)？经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．

③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：

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如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．

这个定理用符号语言可表示为： ?

????a ∥αa ?ββ∩α＝b ?a ∥b .

这个定理用图形语言可表示为：如图

1.

图1

④已知a ∥α，a ?β，α∩β＝b .求证：a ∥b

.

⑤应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面．

⑥应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线．” 提出问题

①利用空间模型探究：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？

②回忆线面平行的性质定理，结合模型探究线面平行的性质定理.

③用三种语言描述平面与平面平行的性质定理.

④应用面面平行的性质定理的难点在哪里？

⑤应用面面平行的性质定理口诀是什么？

讨论结果：①如图2，借助长方体模型，我们看到，B ′D ′所在的平面A ′C ′与平面AC 平行，所以B ′D ′与平面AC 没有公共点．也就是说，B ′D ′与平面AC 内的所有直线没有公共点．因此，直线B ′D ′与平面AC 内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线．

图2

②直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和

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交线平行．

因为，直线B ′D ′与平面AC 内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线，只要过B ′D ′作平面BDD ′B ′与平面AC 相交于直线BD ，那么直线B ′D ′与直线BD 平行．

如图

3.

图3

③两个平面平行的性质定理用文字语言表示为：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

两个平面平行的性质定理用符号语言表示为： ?

????α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ?a ∥b .

两个平面平行的性质定理用图形语言表示为：如图

4.

图4

④应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面．

⑤应用面面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线．” 应用示例

思路1

例1 如图5，A ，B ，C ，D 在同一平面内，AB ∥平面α，AC ∥BD ，且AC ，BD 与α分别交于点C ，D ，求证：AC ＝BD

.

图5

证明：连接CD .

因为A ，B ，C ，D 在同一平面内，AB ∥平面α，

所以AB ∥CD .

又因为AC ∥BD ，所以四边形ABCD 是平行四边形．

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因此AC ＝BD .

点评：已知线面平行时，常用到线面平行的性质定理.

变式训练

已知AB ，CD 为异面线段，E ，F 分别为AC ，BD 中点，过E ，F 作平面α∥AB . 求证：CD ∥α.

证明：如图6，连接AD 交α于G ，连接GF ，

图6

∵AB ∥α，面ADB ∩α＝GF ?AB ∥GF .

又∵F 为BD 中点，

∴G 为AD 中点．

又∵AC ，AD 相交，确定的平面ACD ∩α＝EG ，E 为AC 中点，G 为AD 中点，∴EG ∥CD . ?

????EG ?αCD ?αEG ∥CD ?CD ∥α.

例2 如图7，平面α，β，γ两两平行，且直线l 与α，β，γ分别相交于点A ，B ，C ，直线m 与α，β，γ分别相交于点D ，E ，F ，AB ＝6，BC ＝2，EF ＝3.求DE 的长．

图7

解：连接DC .

设DC 与β相交于点G ，则平面ACD 与α，β分别相交于直线AD ，BG ，平面DCF 与β，γ分别相交于直线GE ，CF .

因为α，β，γ两两平行，

所以BG ∥AD ，GE ∥CF .

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因此AB

BC＝DG

GC，

DG

GC＝

DE

EF.所以

AB

BC＝

DE

EF.

又因为AB＝6，BC＝2，EF＝3，所以DE＝9.

点评：本题利用面面平行得到线线平行，从而得到线段成比例.

变式训练

如图8，平面α∥平面β，平面γ与α交于直线a，γ与β交于直线b，直线c在β内，且c∥b.

图8

(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；

(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．

答案：(1)c∥α；(2)c∥a.(理由略．)

思路2

例1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这两条直线平行.

图9

解：已知：如图9，a∥b，a?α，b?β，α∩β＝c.

求证：c∥a∥b.

证明：

变式训练

求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行．

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图10

解：已知：如图10，a∥α，a∥β，α∩β＝b.

求证：a∥b.

证明：如图10，过a作平面γ，δ，使得γ∩α＝c，δ∩β＝d，那么有

点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程．这是证明线线平行的一种典型的思路.

例2 已知：a，b是异面直线，a?平面α，b?平面β，a∥β，b∥α.

求证：α∥β.

证明：如图11，在b上任取点P，显然P?a.于是a和点P确定平面γ，且γ与β有公共点P.

图11

设γ∩β＝a′，

∵a∥β.∴a′∥a.∴a′∥α.

这样β内相交直线a′和b都平行于α，∴α∥β.

知能训练

1．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．

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