圆锥曲线的参数方程

选修4-4圆锥曲线的参数方程

2.2圆锥曲线的参数方程 圆锥曲线的参数方程 (一)椭圆的参数方程

选修4-4圆锥曲线的参数方程

探究：如下图 以原点为圆心, 分别以a, 探究：如下图, 以原点为圆心 分别以 b(a>b > 为半径作两个圆, 是大圆半径OA与小 >0)为半径作两个圆 点B是大圆半径 与小 为半径作两个圆 是大圆半径 圆的交点, 过点A作 ⊥ 垂足为N, 过点B作 圆的交点 过点 作AN⊥ox, 垂足为 过点 作 BM⊥AN, 垂足为 求当半径 垂足为M, 求当半径OA绕点 旋转 绕点O旋转 ⊥ 绕点 时点M的轨迹参数方程 时点 的轨迹参数方程. 的轨迹参数方程

分析： 的横坐标与点 的横坐标相同, 分析： M的横坐标与点 的横坐标相同 点 的横坐标与点A的横坐标相同 点M的纵坐标与点 的纵坐标相同.y 的纵坐标与点B的纵坐标相同 的纵坐标与点 的纵坐标相同

而A、B的坐标可以通 、 的坐标可以通 过 引进参数建立联系. 引进参数建立联系 设∠XOA=φ

AB O N M

x

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解：

设∠XOA=φ, M(x, y), 则

x = acos φ ( 为参数) 由已知: 由已知 y = bsinφ

A: (acosφ, a sinφ), B: (bcosφ, bsinφ),y AB M N

即为点 的轨迹参数方程. 即为点M的轨迹参数方程. 参数方程

x y 消去参数得: 消去参数得: + 2 = 1, 2 a b即为点 的轨迹普通方程. 即为点M的轨迹普通方程. 普通方程

2

2

O

x

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x y 椭圆的标准方程: 椭圆的标准方程: 2 + 2 = 1 a b x = acos φ (φ为参数 ) 椭圆的参数方程: 椭圆的参数方程: y = bsinφ

2

2

y AB O M N

φx

椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:不是∠ 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ. 不是

φ称为离心角，φ ∈[0, ) 2π圆的标准方程: x2+y2=r2 圆的标准方程:

y

M θ

x = r cos θ 圆的参数方程: (θ为参数 ) 圆的参数方程: y = r sinθ θ的几何意义是 ∠AOM=θ 的几何意义是

O

A x

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【练习】把下列普通方程化为参数方程. 练习】把下列普通方程化为参数方程2 x y y 2 + = 1 (2) x + =1 (1) 4 9 16 x = 2 co s θ x = cos θ (1) (2) y = 3 sin θ y = 4 sin θ

2

2

{

{

把下列参数方程化为普通方程 x = 3 cos x = 8 cos (3) (4) y = 1 0 s i n y = 5 s in

x (3) 9

2

+ =1 (4)y 25

2

x 64

2

+

y2 100

=1

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x y 上求一点M, 例1、如图，在椭圆 + 、如图， 上求一点 ，使M到直 到直 =1 9 4的距离最小. 线 l:x-2y-10=0的距离最小 ： 的距离最小

2

2

y并求出最小距离。 并求出最小距离。

MO

x

借助椭圆的参数方程， 借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求 意一点的坐标用三角函数表示， 意一点的坐标用三角函数表示，利用三角 知识加以解决。 知识加以解决。

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2.2圆锥曲线的参数方程 圆锥曲

线的参数方程 (二)双曲线的参数方程

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y

双曲线的参数方程设M ( x , y )a A

B'

在 OAA '中 ， x = o B A' x a | OA | = a sec | OA ' |= = b cos cos 在 OBB '中，y = | BB ' |=| OB | tan = b tan . x = a sec ( 为参数) 所以M 的轨迹方程是 y = b tan x2 y2 消去参数后， =1 消去参数后，得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。

M

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y

双曲线的参数方程2 2

x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b

a

A B' o B

MA' x

3π 通 规 ∈[o,2π)且 ≠ , ≠ 。 常 定 2 2

x = a sec ( 为参数) y = b tan

π

b

说明： 说明：

⑴ 这里参数

叫做双曲线的离心角与直线 的倾斜角不同 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同 的倾斜角不同.

x2 y2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 2 = 1与三角恒等式 2 a b 2 2的实质是三角代换. 的实质是三角代换

sec = 1 + tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程 相比较而得到，

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x2 y2 如 例2、 图 ， 设 M 为 双 曲 线 a 2 b 2 = 1( a > 0 , b > 0 )任 意 一 点 ， O为 原 点 ， 、 过 点 M 作 双 曲 线 两 渐 近 线 的 平 行 线 ， 分 别 与 两 渐 近 线 交 于 A, B 两 点 。 探 求 平 行 四 边 形 MAOB的 面 积 ， 由 此 可 以 发 现 什 么 结 论 ？

y A M O B x

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b 双曲线的渐近线方程为：y = ± x. 解： a 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为(asec ,btan ),

b 则直线MA的方程为：y b tan = ( x a sec ). axA = (sec + tan ). 2 a 同理可得，点B的横坐标为xB = (sec tan ). 2 b 设∠AOx=α ,则tanα = . a

①y A M x

b 将y= x代入①,解得点A的横坐标为 a a

O

B

xA xB 所以MAOB的面积为 S MAOB =|OA||OB|sin2α = sin2α cosα cosα 2 2 2 a (sec -tan ) a2 a 2 b ab = sin2α = tan α = = . 2 4cos α 2 2 a 2

由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。

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2.2圆锥曲线的参数方程 圆锥曲线的参数方程 (三)抛物线的参数方程

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引入: 如图,一架救援飞机在离灾区地面 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 引入 如图 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 100m/s的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确 的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确 的速度作水平直线飞行 落于灾区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定 落于灾区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定 投放时机呢？ 投放时机呢？物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： 物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：

y 500

作初速为100m/x的匀速直线运动； 的匀速直线

运动； (1)沿ox作初速为 ) 作初速为 的匀速直线运动 思考： 思考： 反方向作自由落体运动。 (2)沿oy反方向作自由落体运动。 ) 反方向作自由落体运动

对于一般的抛物线，怎样 对于一般的抛物线， 解：物资出舱后，设在时刻t,水平位移为x, 建立相应的参数方程呢？ 建立相应的参数方程呢？垂直高度为y,所以

o

x

x = 100t , (g=9.8m/s2 ) 1 2 y = 500 2 gt .

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设抛物线的普通方程为y 2 = 2 px.....(1) y 因为点M在α的终边上，根据三角函数的 y 定义可得 = tan α ...............(2) x o

α

M(x,y) x

2p x= 2 tan α …… 此处隐藏：3266字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……