高中数学竞赛专题讲座之二：数列(2)

于是每个区间段中恰有15个{an}的项,8个{bn}的项, 且有b8k r br 60k,k∈N,1≤r≤8.

由于2006＝8×250+6,而b6 43所以b2006 60 250 b6 60 250 43 15043.

,6．（2004湖南）设数列{an}满足条件：a1 1,a2 2，且an 2 an 1 an(n 1,2,3, )

求证：对于任何正整数n，都有

an 1 1

1

n

an

证明：令 a0 1,则有 ak 1 ak ak 1，且 1

akak 1

ak 1ak 1

(k 1,2, )， 于是

n

n

k 1

akak 1

a2a3

n

k 1

ak 1ak 1anan 1

由算术-几何平均值不等式，可得

1

a1a2

+a0a2

a1a3

an 1an 1

1

n

注意到 a0 a1 1，可知 1

1

n

an 1

anan 1

，即

an 1 1

1

n

an

an 1,当n为偶数时， 2

7．（2006年上海） 数列 an 定义如下：a1 1，且当n 2时， an

1

,当n为奇数时． a n 1

30

已知an ，求正整数n．

19

解:由题设易知，又由a1 1，可得，当n为偶数时，当n( an 0,n 1,2, ．an 1；1)是奇数时，an 由an

3019

1an 1

1． （4分）

3019

1

1119

1，所以，1911 1

811

n2

1，所以n为偶数，于是an

2

是奇数．

n 24

于是依次可得：an

2

1

1911

1，

n2

1是偶数，an 2

4

1，是奇数，

an 2

4

1

1188353

1，

n 648

是偶数，an 6

8

11883

1 1

3853

1， 1，

n 6816

是奇数， 是偶数，

an 6

8

1

1，

23

n 14

是偶数，an 14

16

n 14

an 14

32

1 32

1，

n 1432

是奇数， （9分）

32 1

12 1，

n 4664

an 14

32

1

1，

n 463264

是偶数，an 46

64

是奇数，

an 46

64

2 1，

1

n 110

是偶数， an 110 2 1 1，

128

所以，

n 110128

1，解得，n＝238． （14分）

13．(2005全国)数列{an}满足：a0 1,an 1

,n N.

2

证明：（1）对任意n N,an为正整数；(2)对任意n N,anan 1 1为完全平方数。

7an 45an 36

2

证明：（1）由题设得a1 5,且{an}严格单调递增.将条件式变形得 2an 1 7an

2

22

45an 36,两边平方整理得an 7anan 1 an 9 0 ① 1

2

2

an 7an 1an an 1 9 0 ②

①-②得(an 1 an 1)(an 1 an 1 7an) 0, an 1 an, an 1 an 1 7an 0

an 1 7an ab 1. ③

由③式及a0 1,a1 5可知，对任意n N,an为正整数. 10分

（2）将①两边配方，得(an 1 an)2 9(anan 1 1), anan 1 1 (

由③an 1 an 9an (an 1 an)≡ (an an 1) mod3 ∴an 1 an≡( 1)

n

an 1an

3

).④

2

a1 a0 ≡0（mod3）∴

an 1 an

3

为正整数

④式成立. anan 1 1是完全平方数. 20分