2018年高考数学一轮复习 专题13 导数的概念及其运算教学案 文(3)

D.sin x ＋cos x

【解析】 ∵f1(x)＝sin x ＋cos x ，

∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x －sin x ，

∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x －cos x ，

∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x ＋sin x ，

∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x ＋cos x ，

∴fn(x)是以4为周期的函数，

∴f2 017(x)＝f1(x)＝sin x ＋cos x ，故选D.

【答案】 D

7.已知函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y ＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )

A.4

B.－14

C.2

D.－12

【解析】 f′(x)＝g′(x)＋2x.∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g′(1)＝2，∴f′(1)＝g′(1)＋2×1＝2＋2＝4，

∴曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为4.

【答案】 A

8.已知点M 是曲线y ＝13

x3－2x2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求： (1)斜率最小的切线方程；

(2)切线l 的倾斜角α的取值范围.

-

18 -

9.已知曲线y ＝13x3＋43

. (1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.

解 (1)∵P(2，4)在曲线y ＝13x3＋43

上，且y′＝x2， ∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.

∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，

即4x －y －4＝0.

(2)设曲线y ＝13x3＋43与过点P(2，4)的切线相切于点A ?

????x0，13x30＋43，则切线的斜率为y′|x ＝x0＝x20.

∴切线方程为y －? ????13

x30＋43＝x20(x －x0)，即y ＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43

，即x30－3x20＋4＝0，∴x 30＋x20－4x20＋4＝0， ∴x 20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.

10.设函数f(x)＝ax －b x

，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f(x)的解析式；

(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74

x －3，

- 19 - 当x ＝2时，y ＝12.又f′(x)＝a ＋b x2，于是?????2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，

解得?????a ＝1，b ＝3.

故f(x)＝x －3x

.

故曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.