2018年高考数学一轮复习 专题13 导数的概念及其运算教学案 文

专题13 导数的概念及其运算

1.了解导数概念的实际背景；

2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；

3.能根据导数的定义求函数y ＝c(c 为常数)，y ＝x ，y ＝1

x ，y ＝x2，y ＝x3，y ＝x 的导数；

4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f(ax ＋b)的复合函数)的导数．

1．函数f(x)在点x0处的导数 (1)定义

函数y ＝f(x)在点x0的瞬时变化率lim Δx→0 ＋Δ

－

Δx ＝l ，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)，即lim Δx→0

＋Δ

－Δx

＝f′(x0)．

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y ＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．

2．函数f(x)的导函数

如果f(x)在开区间(a ，b)内每一点x 导数都存在，则称f(x)在区间(a ，b)可导．这样，对开区间(a ，b)内每个值x ，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a ，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或y′x、y′)． 3．基本初等函数的导数公式

4．导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

- 2 - (3)??????′＝

－ (g(x)≠0)．

5．复合函数的导数

复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

高频考点一 导数的运算

例1、分别求下列函数的导数：

(1)y ＝exln x ；(2)y ＝x ?

????x2＋1x ＋1x3； (3)y ＝x －sin x 2cos x 2

；(4)y ＝ln 1＋

2x.

【方法技巧】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：

(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；

(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；

(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；

(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；

(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；

(6)复合函数：由外向内，层层求导.

【变式探究】求下列函数的导数：

(1)y ＝x2sin x ；

(2)y ＝cos x ex

；

- 3 - (3)y ＝xsin ?

????2x ＋π2cos ? ????2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －

5).

则y′＝(ln u)′u′＝12x －5·2＝22x －5

， 即y′＝22x －5

. 高频考点二 导数的几何意义

例2、(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.

(2)已知函数f(x)＝xln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f(x)相切，则直线l 的方程为( )

A.x ＋y －1＝0

B.x －y －1＝0

C.x ＋y ＋1＝0

D.x －y ＋1＝0

【解析】 (1)设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex －1＋x.

-

4 -

解得x0＝1，y0＝0.

∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.

∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.

【答案】 (1)2x －y ＝0 (2)B

【方法规律】(1)求切线方程的方法：

①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；

②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.

(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

【变式探究】(1)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a)相切，则a 的值为( )

A.1

B.2

C.－1

D.－2

(2)若函数f(x)＝12

x2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________. 【解析】 (1)设切点为(x0，y0)，y′＝1x ＋a ，所以有?????y0＝x0＋1，1x0＋a ＝1，y0＝ln （x0＋a ），解得?????x0＝－1，y0＝0，a ＝2.

(2)∵f(x)＝12x2－ax ＋ln x ，∴f′(x)＝x －a ＋1x

. ∵f(x)存在垂直于y 轴的切线，

∴f′(x)存在零点，∴x＋1x

－a ＝0有解， ∴a＝x ＋1x

≥2(x>0). 【答案】 (1)B (2)[2，＋∞)

【举一反三】(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.

-

5 -

【答案】 8

高频考点三、导数与函数图象的关系

例3、如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E 作OB 的垂线l.记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f(x)的图象为下图中的(

)

【答案】 D

【解析】 函数的定义域为[0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；

- 6 - 当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；

当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．

【感悟提升】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：

(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f′(x0)．

(2)已知斜率k ，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.

(3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由????? y1＝，y0－y1＝－求解即可．

(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．

【变式探究】(1)已知函数f(x)＝3x ＋cos2x ＋sin2x ，a ＝f′(π4

)，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y ＝x3上一点P(a ，b)的切线方程为( )

A ．3x －y －2＝0

B ．4x －3y ＋1＝0

C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0

D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0

(2)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝xlnx 的切线，则实数m 的值为________．

【答案】 (1)C (2)－

e

∵P(a，b)在曲线y ＝x3上，且a ＝1，∴b＝1.

∴1－x30＝3x20(1－x0)，

∴2x 30－3x20＋1＝0，∴2x 30－2x20－x20＋1＝0，

- 7 - ∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，∴切点为? ????－12

，－18， ∴此时的切线方程为y ＋18＝34? ??

??x ＋12， 综上，满足题意的切线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0，故选C.

(2)设切点为(x0，x0lnx0)，

由y′＝(xln x)′＝lnx ＋x·1x

＝lnx ＋1， 得切线的斜率k ＝lnx0＋1，

故切线方程为y －x0lnx0＝(lnx0＋1)(x －x0)，