线性代数2chapter4(5)特征值与矩阵对角化(习题课)

线性代数

Chapter 4(5) 特征值与矩阵对角化习题课

线性代数

一、内容小结 1. 正交矩阵的定义与性质 2. 特征值特征向量的定义与性质 3. 相似矩阵的定义与性质

4. 矩阵可对角化的条件5. 实对称矩阵特征值特征向量的性质

线性代数

二、题型与方法 1. 求特征值特征向量

2. 判别矩阵是否可对角化， 找可逆矩阵使其与对角阵相似3. 实对称矩阵的对角化(可逆变换与正交变换)

线性代数

1 2 4 5 0 0 一.设方阵A 2 x 2 与 0 y 0 相似, 4 2 1 0 0 4 求x , y .Solution.

5 由 4E A 2 4c 3 c1

2 4 x 2 0

4 5

2 2 4

r1 r3

9

0 4 x 2

9 2 5

9 4

0 4 x 2

2

4 9(4 x ) 0, 得x 4. 1

线性代数

1由 E A 1 4 2 4 0 2 ( 5) 2 4

2

4 2

42 1 2

2 4 1 4

r1 r3

5

0

5 2

42 0 2 0 4

1c 3 c1

1

( 5) 2 4

1

3

( 5)[( 4)( 3) 8] ( 5)( 2 20) ( 5)( 5)( 4) 0,

得 1 2 5, 3 4.

y 5.

或由 A 1 2 3 可得;

或由 1 2 3 a11 a22 a33 可得.

线性代数

二.设 3阶方阵A的特征值为 1 1, 2 0, 3 1; 对应的 特征向量依次为 1 (1,2,2) , p2 ( 2, 2,1) , p p3 ( 2, 1,2) , 求方阵A.

Solution 1.

1 2 2 取P ( p1 , p2 , p3 ) 2 2 1 , 2 1 2 1 0 0 1 则有P AP 0 0 0 , 0 0 1 1 1 2 2 1 又P 2 2 1 2 1 2

线性代数

3 6 6 1 2 2 1 1 6 6 3 2 2 1 , 27 9 6 3 6 2 1 2 A P P 1

1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 2 2 1 0 0 0 2 2 1 2 1 0 0 1 9 2 2 1 2 0 6 1 0 2 1 2 2 3 1 1 2 0 1 2 2 1 0 3 6 . 9 9 2 2 0 2 1 2 6 6 0

线性代数

或者

A( p1 , p2 , p3 ) ( 1 p1 , 2 p2 , 3 p3 ) ( p1 ,0, p3 )

1 2 2 1 0 2 A 2 2 1 2 0 1 , 2 1 2 2 0 2 1 0 2 1 2 2 A 2 0 1 2 2 1 2 0 2 2 1 2 1

0 6 3 1 0 3 6 . 9 6 6 0

1 0 2 1 2 2 1 2 0 1 2 2 1 2 0 2 9 2 1 2

线性代数

三.设3阶实对称矩阵 的特征值为 , 3, 3, 与特征值6对应 A 6 的特征向量为 1 (1,1,1) , 求矩阵A. pSolution 1. 设特征值3对应的特征向量为 ( x1 , x2 , x3 ) , x

则有x1 x2 x3 0, 1 1 x k1 1 k2 0 0 1 故对应特征值3的特征向量为 p2 ( 1,1,0) , p3 ( 1,0,1) . 1 1 1 取P ( p1 , p2 , p3 ) 1 1 0 , 1 0 1

线性代数

1 1 6 0 0 1 1 1 1 则有P AP 0 3 0 , 又P 1 1 2 , 3 0 0 3 1 2 1 A P P 1

1 1 1 4 1 1

1 1 6 0 0 1 1 1 1 1 0 0 3 0 1 1 2 , 0 0 3 3 1 2 1 0 1 1 1 4 1 . 1 4 A ( 1 p1 , 2 p2 , 3 p3 ) P 1 .

Solution 2. A( p1 , p2 , p3 ) ( 1 p1 , 2 p2 , 3 p3 )

线性代数

Solution 3. 设特征值3对应的特征向量为 ( x1 , x2 , x3 ) , x

1 1 则有x1 x2 x3 0, x k1 1 k2 0 0 1 故对应特征值3的特征向量为 1 ( 1,1,0) , 2 ( 1,0,1) .

将 1 , 2正交化得 : 1 1 ( 1,1,0) , ( 1 , 2 ) 1 1 2 2 1 ( , ,1) , ( 1 , 1 ) 2 2 1 1 1 将p1 1 , 2单位化得 : 1 ( , , ) , 3 3 3 1 1 1 1 2 2 ( , ,0) , 3 ( , , ) , 2 2 6 6 6

线性代数

取P ( 1 , 2 , 3 )

1 3 1 3 1 3

1 2 1 2 0 1 3 1 2 1 6

1 6 1 , 6 2 6 1 3 0 , 2 6 A P P 1

从而P 1

1 3 1 P 2 1 6

4 1 1 1 4 1 . 1 1 4

线性代数

2 1 2 四.设A 1 2 2 , ( A) A10 6 A9 5 A8 . 2 2 1 Solution. 2 1 2 由 E A 1 2

2 2

2 ( 5)( 1)( 1) 0

1

得 1 5, 2 1, 3 1,对应 1 5的特征向量为 p1 (1,1,1) , 对应 2 1的特征向量为 p2 ( 1,1,0) ,

对应 3 1的特征向量为 p3 (1,1, 2) ,

线性代数

存在可逆阵P ( p1 , p2 , p3 ), 使得P 1 AP , 1 5 0 0 3 1 1 1 则A P P , 且 0 1 0 , P 6 0 0 1 1 6 ( A) A10 6 A9 5 A8

1 1 3 3 7 2 6 3 1 1

6 3

P 10 P 1 6 P 9 P 1 5 P 8 P 1 P ( 10 6 9 5 8 ) P 1

0 0 ( 5) 1 P 0 (1) 0 P 0 0 ( 1)

线性代数

3 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 2 0 0

3 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 2 2 2 2 4 2 2 2 4 . 4 4 8

1 1 1 0 3 3 3 1 7 2 0 6 6 3 12 1 1 1 3 6 6 0 0 4

The end