07级高数AII(B)试卷答案

东莞理工学院期末考试试卷

东莞理工学院（本科）试卷（B卷）答案与评分标准

2007 --2008学年第二学期

《高等数学AII(本)》试卷答案

开课单位： 数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 入场

（共60分 每题3分）

1. 设向量 a {6, 2, 4}，b { , 1, 2}，已知a

与b平行,则 3．2. yoz坐标面上的曲线

y22a

2

zc

2

1绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程

x2

y2

2为a

2

zb

2

1．

3.

设a 2,b 1,(a ,b)

3

,则a b

3．

4. 设一平面经过点(1,1,1)，且与直线 x 2y 4 0

3y z 0垂直，则此平面方

程为2x y 3z 0．

5. 二元函数z ln

y2

2x 1的定义域为 (x,y)|y2

2x 1 0 ．

6. 设z exy

，则dz exy(ydx xdy)．

7. 函数f(x,y,z) ln(x2 y2 z2)，则gradf(1,0,1) {1,0,1}

．

8.

设u xf(x,y

)，f具有连续导数，则

ux x

f xf1

yx

f2 ．

《 高等数学AII 》试卷答案第 1 页 共 5 页

一、

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9. 曲面x2 y2 z2 1在点(1,0, 2)处的法向量n 2,0, 4 ． 10. 交换积分顺序： dx f(x,y)dy dy f(x,y)dx．

y

1

x

1

1

11.闭区域 由曲面z x2 y2及平面z 1所围成，将三重积 f(x,y,z)dv

2

1

1

化为柱面坐标系下的三次积分为

d rdr 2f(rcos ,rsin ,z)dz．

r

12. 设 是闭区域 的整个边界曲面的外侧,V是 的体积，则

xdydx ydzdx zdxdy=3V

．

13. 设L为上半圆周y x2，则 (x2 y2)ds ．

L

14. 设周期函数在一个周期内的表达式为f(x)

2

0, x 0

x,0 x ,

则它的傅

里叶级数在x 处收敛于

．

15. 若limun 0，则级数 un的敛散性是

n

n 1

16. 级数

n 1

n

n

n

5n!

的敛散性是 收敛 ．

17.级数

n 1

sinnn

2

的敛散性是 收敛 ．

18. 微分方程x2y 5(y )4 6y 0是 19. 微分方程y 2y y 0的通解为20.

微

分

*

e(C1 C2x)

2x

x

． 特

解

的

形

式

方

2

程y 5y 6y 3xe

2x

的

y (ax bx)e．

《 高等数学AII 》试卷答案第 2 页 共 5 页

东莞理工学院期末考试试卷

二、（共6分）设z u2lnv，u

y zzx

，v xy，求

x

,

y

z

z u z vyu2

2y2

y

2

x

u x v x 2ulnv ( x2) v y x3ln(xy) x

3(3分) z

z u z v2

y u y v y 2ulnv 1x uv x 2yyx2ln(xy) x

2 (3分) （共5分）函数z z(x,y)由方程x2 y2 z2 4z 0所确定，求

z x

．

解：令F(x,y,z) x2

y2

z2

4z， (1分)

则 Fx 2x, Fz 2z 4, (2分)

zFx x

F

xz

2 z

(2分)

（共5分）

计算 xdxdydz，其中 为三个坐标面及平面x y z 1所围成的闭区

域． 解：原式

dxdy

1 x y0

xdz

D 1dx 1 x00

dy

1 x y0

xdz (2分)

10

xdx

1 x0

(1 x y)dy

1

10

x(1 x)2

2

dx (2分)

124

(1分)

（共6分）

《 高等数学AII 》试卷答案第 3 页 共 5 页

三、四、五、

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计算曲线积分 (x2 2y)dx (x sin

L

2

y)dy，其中L为由点A(2,0)到点

O(0,0)的上半圆周x y 2x．

2

2

解：添加有向辅助线段OA，它与上半圆周围成的闭区域记为D，根据格

林公式

2

2

L

D

(x 2y)dx (x sin

y)dy

2

( 1 2)dxdy dxdy

D

OA

12

(x 2y)dx (x sin

2

y)dy (3分)

2

xdx

2

1

2

2

3

3

2

83

(3分)

六、（共6分）

n

求幂级数

n 1

(x 3)n3

n

的收敛域．

解： R lim

anan 1

n

3 (3分)

3 x 3 3,

0 x 6

n

当x 0时,级数

n 1

( 1)n

收敛, 当x 6时,级数

n 1

1n

发散． (2分)

故级数收敛域为[0,6). (1分)

七、（共6设f(1) 0，确定f(x)使[sinx f(x)]全微分． 解： 由

P y

Q x

yx

dx f(x)dy为某二元函数u(x,y)的

得

sinx f(x)

xsinxx

f (x)，

即 f (x)

1x

f(x) (2分)

《 高等数学AII 》试卷答案第 4 页 共 5 页

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所以 f(x) e

1x

dx

(

sinx e

xdx

1

dx C)

x

e

lnx

(

sinxx

e

lnx

dx C) (2分)

1x

( cosx C)， (1分)

代入初始条件，解得C cos1，所以f(x) 1x

(cos1 cosx)． (1分)

八、(共6分) 计算 z2

dxdy，其中 是球面x2 y2 z2 1外侧在x 0,y 0的部分．

解： zdxdy

zdxdy dxdy

(2分)

1

2

(1 x2 y2)dxdy ( 1) (1 x2

y2

)dxdy (2分)

Dxy

Dxy

2 (1 x2 y2

)dxdy

Dxy

2 2d 1

(1 r2

) rdr

4

(2分)

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