随机信号分析(第3版)第三章 习题答案

随机信号分析(第3版) 习题答案

3.1随机电压信号U(t)在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：

（1）密度函数f(u;t)、f(u1,u2;t1,t2)和f(u1,u2,...,uk;t1,t2,...,tk)，k为任意整数；

（2）U(t)的平稳性。3.1解：

x2

(1)f(u;t)= 4u12+u221

f(u1,u2;t1,t2)=f(u1,t1)f(u2,t2)=

exp{ 4π4

k

f(u1,u2,K,uk;t1,t2K,tk)=∏f(ui,ti)=

i=1

∑u

i=1

k

2i

4

(2)由于任意k阶概率密度函数与t无关，因此它是严平稳的。

3.23.3

3.4已知随机信号X(t)和Y(t)相互独立且各自平稳，证明新的随机信号Z(t)=X(t)Y(t)也是平稳的。3.4解：

QX(t)与Y(t)各自平稳，设mX=E[X(t)]，mY=E[Y(t)]，

RX(τ)=E[X(t+τ)X(t)]，RY(τ)=E[Y(t+τ)Y(t)]

mZ(t)=E[Z(t)]=E[X(t)Y(t)]=E[X(t)]×E[Y(t)]=mXmY，为常数RZ(t+τ,t)=E[Z(t+τ)Z(t)]=E[X(t+τ)Y(t+τ)X(t)Y(t)]=E[X(t+τ)X(t)]×E[Y(t+τ)Y(t)]=RX(τ)×RY(τ)=RZ(τ)∴RZ(τ)仅与τ有关，故Z(t)=X(t)Y(t)也是平稳过程。

3.5随机信号X(t)=10sin(ω0t+Θ)，ω0为确定常数，Θ在[ π,π]上均匀分布的随机变量。若X(t)通过平方律器件，得到Y(t)=X2(t)，试求：

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（1）Y(t)的均值；（3）Y(t)的广义平稳性。

（2）Y(t)的相关函数；

3.5解：(1)E[Y(t)]=E[X2(t)]=E[100sin2(ω0t+θ)]=50E[1 cos(2ω0t+2θ)]=50

(2)RY(t+τ,t)=E[Y(t+τ)Y(t)]=E[X2(t+τ)X2(t)]

=E[100sin2(ω0t+θ)×100sin2(ω0t+ω0τ+θ)]=2500E[1 cos(2ω0τ) cos(4ω0t+2ω0τ+4θ)]=2500E[1 cos(2ω0τ)]

∴RZ(τ)仅与τ有关，且均值为常数，故Y(t)是平稳过程。

3.6给定随机过程X(t)=Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)，其中ω0是常数，A和B是两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为σ2。证明X(t)是广义平稳而不是严格平稳的。

3.6证明：QmX(t)=E[X(t)]=E[Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)]=0

RX(t+τ,t)=E[X(t+τ)X(t)]

=E{[Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)]×[Acos(ω0t+ω0τ)+Bsin(ω0t+ω0τ)]}=E[A2cos(ω0t)×cos(ω0t+ω0τ)+B2sin(ω0t)×sin(ω0t+ω0τ)]11

=σ2E[cos(2ω0t+ω0τ)+cos(ω0τ)]+σ2E[cos(ω0τ) cos(2ω0t+ω0τ)]22=σ2cos(ω0τ)

由于均值是常数，且相关函数只与τ有关，故X(t)是广义平稳过程。取t1=取t2=

2π

时，X(t)=Aω0

2ππ+时，X(t)=B,ω02ω0

显然fX(x,t1)=fA(x)不一定等于fX(x,t2)=fB(x)∴X(t)不是严格平稳的。

3.7Y(t)是广义周期平稳的实随机信号，平稳周期为100，有均值m(10)=20和相关函数R(5,1)=10，试求：

（1）E[5Y(110)]，E[10Y(310)+50]；

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（2）E[Y(105)Y(101)]，E[30Y(205)Y(201)+200]；（3）E[10Y(305)Y(301)+6Y(210)+80]。

3.7解：

QY(t)是广义周期平稳随机信号，

(1)E[5Y(110)]=5E[Y(10)]=5m(10)=5×20=100E[10Y(310)+50]=10E[Y(10)]+50=250

(2)E[Y(105)Y(101)]=E[Y(5)Y(1)]=R(5,1)=10

E[30Y(205)Y(201)+200]=30E[Y(5)Y(1)]+200=500

(3)E[10Y(305)Y(301)+6Y(210)+80]=10R(5,1)+6m(10)+80=300

3.8

3.9两个统计独立的平稳随机过程X(t)和Y(t)，其均值都为0，自相关函数

分别为RX(τ)=e，RY(τ)=cos2πτ，试求：

（1）Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数；（2）W(t)=X(t) Y(t)的自相关函数；（3）互相关函数RZW(τ)。3.9解：

(1)RZ(t+τ,t)=E[Z(t+τ)Z(t)]=E{[X(t+τ)+Y(t+τ)]×[X(t)+Y(t)]}=E[X(t+τ)X(t)]+E[Y(t+τ)Y(t)]=RX(τ)+RY(τ)=e +cos(2πτ)(2)RW(t+τ,t)=E[W(t+τ)W(t)]=E{[X(t+τ) Y(t+τ)]×[X(t) Y(t)]}=E[X(t+τ)X(t)]+E[Y(t+τ)Y(t)]=RX(τ)+RY(τ)=e +cos(2πτ)(3)RZW(t+τ,t)=E[W(t+τ)Z(t)]=E{[X(t+τ) Y(t+τ)]×[X(t)+Y(t)]}=RX(τ) RY(τ)+RXY(τ)+RYX(τ)

又由于X(t)与Y(t)零均值相互独立，同时彼此正交，则RXY(τ)+RYX(τ)=0∴RZW(t+τ,t)=RX(τ) RY(τ)=e cos(2πτ)

3.103.11

3.12广义平稳随机过程Y(t)的自相关函数矩阵如下，试确定矩阵中带下划线的空白处元素的值。

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21.30.4__ __21.20.8 0.41.2__1.1 0.9____2

3.12解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到：

21.30.4 21.20.8

C=

0.41.21.1 0.92

3.13

22

3.14对于两个零均值广义平稳随机过程X(t)和Y(t)，已知σX=5，σY=10，

问下述函数可否作为自相关函数，为什么？

（1）RX(τ)=5u(τ)exp( 3τ)；（3）RY(τ)=9(1+2τ2)； sin(3τ) （5）RX(τ)=5 ；

3τ （6）RX(τ)=5exp( )；

解：根据平稳随机信号相关函数的性质，

(1)否，非偶函数(2)否，非偶函数(3)否，RY(0)=9≠σ2Y(4)否，RY(0)= 1在原点不是非负(5)是3.15

3.16已知随机过程X(t)和Y(t)独立且各自平稳，自相关函数为

RX(τ)=2e cosω0τ与RY(τ)=9+exp( 3τ2)。令随机过程Z(t)=AX(t)Y(t)，其中A是均值为2，方差为9的随机变量，且与X(t)和Y(t)相互独立。求过程Z(t)的均值、方差和自相关函数。解：

(6)是

(7)是

(8)是

2 1

（2）RX(τ)=5sin(5τ)；

（4）RY(τ)= cos(6τ)exp( )； sin(10τ)

（6）RY(τ)=6+4 。

10τ （7）RY(τ)=6+4exp( 3τ2)。

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Z(t)的均值:

E[Z(t)]=E[A X(t) Y(t)]　　　　=E[A] E[X(t)] E[Y(t)]　　　　=2E[X(t)] E[Y(t)]

2mX=RX(∞)=lim

2cosω0τ

=0→mX=0τ→∞e

∴E[Z(t)]=0

Z(t)的相关函数：

Rz(s,t)=E[A2X(s) Y(s) X(t) Y(t)]=E[A2] E[X(s) Y(s) X(t) Y(t)]

=13×E[X(s) X(t)]×E[Y(s) Y(t)]=13×RX(τ)×RY(τ)=26 e

cosω0τ (9+e

3τ2

)

∴Z(t)的方差：

D[Z(t)]=RX(0)=26×10=260

3.173.18

3.19平稳信号X(t)的功率谱密度为

ω2

（1）SX(ω)=4

ω+3ω2+2 8δ(ω)+20(1 ω/10),

（2）S(ω)=

0, 求它们的自相关函数和均方值。

解：

(1)

ω≤10ω>10

ω2 12

SX(ω)=4=+

ω+3ω2+2ω2+1ω2+2 1 IFT

→e+

=RX(τ)

2∴RX(0)=

1

2

(2)根据傅立叶变换的对称性，有:

2Tτ4sin()

820,其中，T=10RX(τ)=+ 22π2πTτ

随机信号分析(第3版) 习题答案

∴RX(∞)=4/π=mX2∴RX(0)=204/π

D[x(t)]=20T/π

3.20

3.21下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确表达式？为什么？2

sinω （1）

ω

（2）

ω

6

22

ω+3ω+3

ω

6

42

（3）

ω

δ(ω)ω4 1

ωω+2ω+1

4

2

2

（4）

jω+ω+1

2

（5）

（6）e (ω 1)

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