吴代鸣固体物理基础部分习题解答

接着我的那个来的 17题开始到最后

17.铜的空位形成能约为1.26eV，间隙原子的形成能约为4eV，试估计接近熔点（1300K）

时空位和间隙原子的浓度，并比较两者的数量级。

解：对于空位，主要由Schottky（肖特基）缺陷引起，n空=Ne

1.26×1.6×10 n空=ekBT=e1.38×10×1300=1.32×10 5∴空位浓度N

1'2

ukBT

u

19

对于间隙原子，主要由Frenkel（夫伦克尔）缺陷引起，n间=(NN)e

u2kBT

≈Ne

u2kBT

∴间隙原子浓度

n间

=eN

u2kBT

=e

4×1.6×10 19

2×1.38×10×1300

=1.79×10 8

比较两者相差3个量级。

18.试求产生n个Schottky缺陷后晶体体积的变化以及对晶体热容的贡献。

解：产生n个肖特基缺陷就意味着有n个原子从晶体内移动到表面上来，这样，晶格的格

点就由原来的N个增加到N+1个，令原来的体积为V0，那么每个原子所占体积为

V0

。N

∴后来的体积V=V0+

V0n

n=V0 1+ N N

体积变化为V V0=

V0

nN

产生n个肖特基缺陷，晶体的能量变化为nu，而CV=

E

T V

n E nu

∴ CV= ==u

T T V T V

n

∴=NekBT

T

而n=Ne

u

ukBT

u

u kB ( 1)Nu kBT

e 2=2

kBT T

Nu2 kBTnu2

∴ CV=e=2

kBTkBT2

u

19.

ik Rm'''

24.利用紧束缚近似导出的s带能量的一般公式E(k)=E0 β ∑eγ(Rm)，对m的

(n,n)

求和只限于最近邻，试求bcc和fcc晶格s带的能量E(k)。解：（1）对于bcc晶格，最近邻原子数8个，坐标为（±

aaa

，代入上式得：,±,±222

aaaaaaaa +ky+kz)i( kx+ky+kz)i( kx ky kz) i(kxa

Es(k)=Es β γ e222+e222+...+e222

接着我的那个来的 17题开始到最后

111

=Es β 8γcoskxacoskyacoskza

222

aaaaaa

（2）对于fcc晶格，最近邻原子数12个，坐标(0,±,±±,0,±),(±,±,0)

222222

aaa +kz) i(kykz) i(kya 2222

代入上式得：Es(k)=Es β γ e+e+...

111111

=Es β 4γ coskxacoskya+coskxacoskza+coskyacoskza

222222

25.已知简单立方晶格s带的能量为E(k)=Es β 2γ(coskxa+coskya+coskza)，试求

能带极值附近电子的有效质量以及能态密度。解：带顶：(±

πππ

,±,±)，带底：(0,0,0)aaa

2E

=2γa2coskxa2

kx

2E2

=2γacoskya2

ky

2 2

对于带顶：m=2=

E2γa2 kx2

*xx

**

m*=m=myyzzxx

2E

=2γa2coskza2

kz

π a

πa

π

附近，有：a

1π1π1πE(k)=Es β 2γ[ 1+(kx 2 1+(ky )2 1+(kx 2]

2a2a2a

222 π π π

=Es β+6γ γ kx + ky + kz

a a a

πππ'

；ky=ky ；kz'=kz aaa

'

' 'E0 E(k)'2'2'

则：E(k)=E(k)=E0 γk k=；dk=dE(k)

γ'

令：E0=Es β+6γ；kx=kx

∞ '3' 'VV

g(E)=3∫δ(E E(k))dk=3∫

δ(E E(k))4πk'2dk'

4π4π0

' 1 V'

=3∫δ(E E(k))4 dE(k)4πE02γ

∞

接着我的那个来的 17题开始到最后

' 1VV'

=3∫δ(E E(k))4π (k)=3 4π4π ∞4π 2γE0

g(E)=

V1V11/2

(E E)=(Es β+6γ E)1/2023/223/2

2πγ2πγ

*

xx

2 2 2**

对于带底：m=2=；myy=mzz=2

E2γa2γa2 kx2

111

(000)附近有：E(k)=Es β 2γ(1 kx2+1 ky2+1 kz2)

222

=Es β 6γ+γk2=E0'+γk2

E(k) E0'2

；dk=(k)∴k=γ∞ 3 VV

∴g(E)=δ(E E(k))dk=3∫

δ(E E(k))4πk2dk3∫4π4π0

' E(k) E0VV1'1/2

=3∫δ(E E(k))4π=23/2 (E E0)4πE'γ2πγ0

∞

g(E)=

V11/2

(E E+β+6γ)s

2π2γ3/2

27.按近自由电子近似，靠近Brillouin区界面时，电子的能量为

10 2 21000

E(k)=[E(k)+E(k+Gn)]±[E(k) E(k+Gn)]+4V(Gn)

22

{}

1

2

试证明电子的等能面与Brillouin区界面垂直相交。证明：

2 2 E±(k)1 2 1 21100

= 2k+ 2(k+Gn)± E(k) E(k+G)+4V(Gn n) 22m22m22 k

{}

1/2

20

×2[E(k) E(k+Gn)] 2[k k Gn]

2m

200

当k端点落在Brillouin区边界上时：2k Gn+Gn=0 E(k)=E(k+Gn)

接着我的那个来的 17题开始到最后

E(k) 2 1 ∴=(k+Gn)

m2 k

1 E(k)

与等能面垂直，而k+Gn的方向沿着

2 k

Brillouin区（ Gn）的边界，所以等能面与Brillouin区边界垂直相交。

28.设有二维矩形晶格，原胞边长为a和2a，若每原子提供两个价电子，试分别用简约区图示和重复区图示画出自由电子的费米面，如果受到若周期场的微扰，其费米面的形状什么变化。

解：设a1=2ai，a2=aj

(1)先计算费米波矢kF

π 2π

则倒格子基矢b1=i，b2=j

aa

设原子数为N，则电子数2N，则面积S=Na2a=2a2N

4π24π22π2

倒易空间的面积元=2=2

S2aNaN

2

πkF

×

2=2N4π2S

kF=

（2）第一区与第二区边界情况：

b1π=22ab2π=2ab1b<kF<222

受到弱周期场的作用，在布里渊区边界附近出现能隙，费米面与边界垂直相交。

2k2 2 2

30.有一半金属，其交叠的能带为E1(k)=E1(0) ，E2(k)=E2(k0)+(k k0)

2m12m2

m1>m2，E1(0)>E2(k0)，试求T=0K时的Fermi能

解：如图所示，由于能带交叠，本来会填满带1的电子

有一部分会填充到带2，带2中电子数等于带1中空穴数，对于带1：

2k

kE1(k)=

m1

k=

接着我的那个来的 17题开始到最后

V

能态密度为：N1(E)=2

(2π)3

∫

dSV4πk2mV1

=2=

k2322

kE1(k)π (2π) k

m1

3/2

V 2m1 = 2π2 2

3/2

V 2m2

对于带2同理有：N2(E)=

2π2 2

E1(0)

EF

当T=0K时满足：

E1EF

∫

N1(E)dE=

E2(k0)

∫

N2(E)dE

EF

因此：m

3/21

EF

∫

=m2

3/2

E2(k0)

∫

化简得到：m1[E1(0) EF]=m2 EF E2(k0)

mE(0)+m2E2(k0)

因此：EF=11

m1+m2