高中数学排列组合相关公式(2)

分组方法 （1540）

3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安

排2名，则不同的安排方案种数为______（2222426

2/90C C A A ） 十三. 合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,

现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法 解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究

只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5

人中只有1人选上唱歌人员1125

34C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n

n A (n 为均分的组数)避免重复计数。

2211222335

3455C C C C C C C ++种。

练习题：

1.

从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人

中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34

2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3

号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）

本题还有如下分类标准：

*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准

*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准

*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准

都可经得到正确结果

十四.构造模型策略

例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其

中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的

2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有35C 种

练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）

十五.实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,

现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法

解：从5个球中取出2个与盒子对号有25C 种还剩下3球3盒序号

不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号

盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3

号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理

有252C 种 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

3号盒 4号盒 5号盒

练习题：

1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)

2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种

5

4

3

21

十六. 分解与合成策略

例16. 30030能被多少个不同的偶数整除

分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5

× 7 ×11×13

依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取

若干个组成乘积，

所有的偶因数为：1234555555C C C C C ++++

练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共481258C -=,每个四面体有

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果

十七.化归策略

例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？

解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，

如此继续下去.从3×3方队中选3

11

1从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从取3行3列有3355C C 选法所以从5×5在同一列的3人有33111553

21C C C C C 选法。

练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，

从A 走到B 的最短路径有多少种？(3735C =)

B

A

十八.数字排序问题查字典策略

例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？

解:297221122334455=++++=A A A A A N

练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些

数字从小到大排列起来,第71个数是 3140

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题

十九.树图策略

例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求

后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______ 10=N

练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i 号人不坐i 号椅

（54321,,,,i =）的不同坐法有多少种？44=N

二十.复杂分类问题表格策略

例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字

母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法

解

二十一：住店法策略

解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.

例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .

分析：因同一学生可以同时夺得n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种.

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效

二项式定理

定义：一般地，对于任意正整数n ，上面的关系式也成立，即有

()()011222*n n n n n k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b n N ---+=++++++∈L L

注：（1）公式左边叫做二项式，右边叫做()n a b +的二项展开式

（2）定理中的,a b 仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的n 次幂，就能用二项式定理展开

公式特征：

（1） 项数：共有1n +项

（2） 指数规律：

① 各项的次数都等于二项式的系数n （关于a 与b 的齐次多项式）

② 字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0；字母b 按升幂排列，次数由0递增到n

（3） 二项式展开式的通项：1k n k k k n T C a b -+=，0,1,2,,k n =L

（4） 二项式系数：依次为012,,,,k n n n n n n C C C C C L L 。这里k n C （0,1,2,,k n =L ）称为二

项式系数

例1 求6

? ?

的展开式

例2 （1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数 …… 此处隐藏：1723字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……