高等数学微积分教程第四章多元函数微分学--多元复合函数求导

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第三节

多元复合函数微分法

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第三节 复合函数的微分法一. 复合函数的微分法 dy dy du = 一元复合函数的微分法则--链导法:(1).z = f [ ( x),ψ ( x)]dx du dx

推广

定理1 设 u = (x) 和 v = ψ (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x),ψ ( x)] 在点x可导,且 全导数dz f du f dv = + dx u dx v dx

u z v x

(证明略) 注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.

2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.

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例如: z = f (u , v, w), u = ( x), v = ψ ( x), w = h( x)dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx

z

u v w

x

u z v

x y

(2).z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )]

定理2 设 u = ( x, y ) 和 v = ψ ( x, y ) 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )] 在 点(x,y)可偏导,且 z z u z v = + x u x v x

z z u z v = + y u y v y

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类似的: z = f (u , v, w), u = ( x, y ), v = ψ ( x, y ), w = h( x, y ) u v w x y z z u z v z w = + + x u x v x w x

z

z z u z v z w = + + y u y v y w y

类似的: z = f (u , x, y ), u = ( x, y ) z = f [ ( x, y ), x, y ] z x u y x y z f u f = + y u y y

z f u f = + x u x x

z = f [ ( x, y ), x, y ] 对x的偏导数

z = f (u , x, y ) 对x的偏导数

注意符号的区别

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例1. z = e sin v, u = xy, v = x + y,u

解法一: 将 u,v 带入解出偏导数; 解法二: 用链导法:

z z , 求 x y

z z u z v = + = e u sin v y + eu cos v 1 x u x v x

= e xy [ y sin( x + y ) + cos( x + y )] z z u z v = e u sin v x + e u cos v 1 = + y u y v y

= e xy [ x sin( x + y ) + cos( x + y )]

由此例看出,链导法对于具体函数帮助不大

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例2.

u=e

x2 + y2 + z 2

, z = x sin y2

解法一: u = e u x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y =e (2 x + 4 x 3 sin 2 y ) x 解法二: u f z f = + x z x x

x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y

z 求 x

2 x sin y + 2 xe y z z z = f ( ), f (u ) 可微,证明 x + y =0 例3. x x y z dz u 1 z dz u y = = f ′(u ) = = f ′(u ) ( 2 ) y du y x x du x x z z ∴x + y =0 x y

= 2 ze

x2 + y2 + z2

x2 + y2 + z2

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y , f (u ) 可微,证明 例4. z = 2 2 f (x y )

1 z 1 z z + = 2 x x y y y

z yf ′ (2 x) 2 xyf ′ = = 2 x f f2 ′ ( 2 y ) f + 2 y 2 f ′ z f yf = = 2 f2 f y1 z 1 z 1 z ∴ + = = 2 x x y y yf y

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二. 复合函数的高阶偏导数 2z 2 z 例5. z = f ( x y , xy), f 具有二阶连续偏导数,求

2 , x x y2 2

z = f (u, v), u = x 2 y 2 , v = xy z z u z v = + = 2 xf1 + yf 2 x u x v x

f1 = f u (u , v) 注意: f 2 = f v (u , v)

2z u v u v = 2 f1 + 2 x[ f11 + f12 ] + y[ f 21 + f 22 ] 2 x x x x x

= 2 f1 + 4 x 2 f11 + 4 xyf12 + y 2 f 22

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2 z u v u v = 2 x[ f11 + f12 ] + f 2 + y[ f 21 + f 22 ] x y y y y y

= f 2 4 xyf11 + 2( x 2 y 2 ) f12 + xyf 22

2w 例6. w = f ( x + y + z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数,求 x z w = f1 + yzf 2 x 2w = f11 + xyf12 + yf 2 + yz ( f 21 + xyf 22 ) x z

= f11 + ( x + z ) yf12 + yf 2 + xy 2 zf 22

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三. 全微分形式不变性 z z z = f (u , v) : dz = du + dv u v 若 u = ( x, y ) v = ψ ( x, y ) 则对 z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )] : z z dz = dx + dy x y z u z v z u z v ( + )dy = ( + )dx + u y v y u x v x z u u z v v = ( dx + dy ) + ( dx + dy ) u x y v x y

=

z z du + dv u v

全微分形式不变性

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注:(1).利用全微分形式不变性可得出与一元函数类似的微分 法则; (2).可以利用全微分形式不变性及微分法则求微分和偏导数. 例如前面例1: 解法三: dz = d (e u sin v) = e u sin vdu + e u cos vdvdu = d ( xy ) = ydx + xdy dv = d ( x + y ) = dx + dy

= e xy [ y sin( x + y ) + cos( x + y )]dx + e xy [ x sin( x + y ) + cos( x + y )]dy∴ z = e xy [ y sin( x + y ) + cos( x + y )] x z = e xy [ x sin( x + y ) + cos( x + y )] y

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练习 2z 1. z = f (e x sin y, x 2 + y 2 ), 其中f有二阶连续偏导数, 求 x y

z = f1 ' e x sin y + f 2 ' 2 x, x 2 z x = e sin y f1 '+2 xf 2 ' x y y

(

)

= e x cos yf1 '+e x sin y ( f11 ' ' e x cos y + 2 yf12 ' ' ) + 2 x( f 21 ' ' e x cos y + 2 yf 22 ' ' ) = e x cos yf1 '+e 2 x sin y cos yf11 ' ' + 2e x ( y sin y + x cos y ) f12 ' '+4 xyf 22 ' '.

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2. s = f ( xy, yz, zx), 其中f有连续偏导数, 求ds

s = yf1 + zf 3 , x s = xf1 '+ zf 2 ' , y s = yf 2 '+ xf 3 ' , z ∴ ds = ( yf1 '+ zf 3 ' )dx + ( xf1 '+ zf 2 ' )dy + ( yf 2 '+ xf 3 ' )dz.