现代设计方法 复习题

现代设计方法总复习

第一章 机械优化设计的基本概念和理论机械优化设计的定义： 机械优化设计 就是把机械设计与优化设计理论 及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预 期目标的最优设计方案和最佳设计参数。

一 设计变量 在优化设计过程中，要优化选择的设计参数。 设计变量必须是独立变量，即：在一个优化设计问题中， 任意两个设计变量之间没有函数关系。 二 设计空间 在一个优化设计问题中，所有可能的设计方案构成了一个 向量集合。可以证明，这个向量集合是一个向量空间，并且是 一个欧氏空间。 一个优化设计问题中，设计变量的个数，就是它的设计空 间的维数。 三 目标函数 优化设计中要优化的某个或某几个设计指标，这些指标是 设计变量的函数，称为目标函数。3

四 设计约束 优化设计中设计变量必须满足的条件，这些条件 是设计变量的函数。 约束条件的分类 (1)根据约束的性质分 边界约束 直接限定设计变量的取值范围的约束条件，即

ai xi bi

i = 1,2, · · · ,n

性能约束 由结构的某种性能或设计要求，推导出来 的约束条件。4

(2)根据约束条件的形式分 不等式约束

gu X 0

u=1,2, · · · ,m

等式约束

hv X 0

v = 1,2, · · · ,p < n

一个 n 维的优化设计问题中，等式约束的个数必须 少于 n 。

显式约束 隐式约束5

五 可行域 可行域 : 在设计空间中，满足所有约束条件的所构成的空间 。

六 优化设计的数学模型 (一)优化设计的数学模型

min f X

X R

n

s.t. gu X 0 , u 1, 2, , m hv X 0 , v 1, 2, , p n

( 二)约束优化设计的最优解约束优化设计的最优解为使

min f X

s.t. g u Xv

0 h X 0

, u 1, 2, , m , v 1, 2, , p n

的 X* 、f (X*) 。8

第二章 优化设计的数学基础§ 2-1 目标函数的基本性质 一 函数的等值面(线) 函数的等值面(线)是用来描述、研究函数的整体性质的。 二 函数的最速下降方向 梯度 f x1 f f X f X x2 x1 f x n

f X f X x2 xn

T

X1 点的最速下降方向为 f X 1

局部性质

* 用图解法求解要求掌握

目标函数等值线是以点(2,0)为圆心的一组同心圆。 如不考虑约束，本例的无约束最优解是：

x * (2,0)

F ( x* ) 0

约束方程所围成的可行域是D。x2 g3(x)=0 g2(x)=02,

g1(x)=0

D A x*=[0.58, 1.34]T g4(x)=01 2 3 4

min F ( x ) x12 x22 4 x1

4 s.t. g1 ( x ) x1 x2 2 0 g 2 ( x ) x12 x2 1 0 g 3 ( x ) x1 0 g 4 ( x ) x2 0f(x)=3.8

1 -1 0

x1

11

图1-9

三

函数的近似表达式

f (X) 的近似表达式为f X f X

k

f X X X k T

k

1 k T X X H X k X X k 2

H(X (k)) 为Hessian 矩阵 2 f X k 2 x 2 1 k f X x x 2 1 2 k f X xn x1

H X k 2 f X k

2 f X k x1 x2 2 f X k 2 x2 2 f X k xn x2

2 f X k x1 xn 2 f X k x2 xn 2 f X k 2 xn

12

§2-2 函数的凸性1. 凸集

* 2.

凸函数

*如果HESSEN矩阵正定，为凸函数； 二次函数

1 T T f X X QX b X c 213

几个常用的梯度公式：

1 . 2 . 3 . 4 .

f X C 常数 f X XT X Q对称矩阵。 f X bT X

则， f X 0 则， f X 2 X f X X T QX 则， f X b

即， C 0 . . 则， f X 2QX

§2-3 优化问题的极值条件

*一、无约束优化问题的极值条件1.F(x)在 x *处取得极值，其必要条件是:

F F F T F ( x ) [ ] x 0 x1 x2 xn

即在极值点处函数的梯度为n维零向量。15

2. x * 处取得极值充分条件 2F x 2 1 2F 2 F ( x * ) x2 x1 2 F xn x1 2F x1 x2 2F x22 2F xn x2 2F x1 xn 2 F x2 xn 正定或负定 2F xn2 x*

海色(Hessian)矩阵 H ( x ) 正定，即各阶主 子式均大于零，则X*为极小点。海色(Hessian)矩阵 负定，即各阶主 子式负、正相间，则X*为极大点。H ( x )16

*二、约束优化问题的极值条件1、约束优化设计的最优点在可行域 D 中 最优点是一个内点，其最优解条件与无约束 优化设计的最优解条件相同；

2、约束优化设计的最优点在可行域 D 的边界上设 X (k) 点有适时约束

*库恩—塔克条件 (K-T条件): g j l F hk x j x k x 0 (i 1, 2, , n) j J k 1 i i i g j ( x) 0 ( j J ) j 0 ( j J ) 18

K-T条件是多元函数取得约束极值的必 要条件,以用来作为约束极值的判断条件， 又可以来直接求解较简单的约束优化问题。

对于目标函数和约束函

数都是凸函数 的情况， 符合K-T条件的点一定是全局最 优点。这种情况K-T条件即为多元函数取得约束极值的充分必要条件。