2014届高考数学一轮复习 第八章立体几何8.6空间向量及其运算教学

8.6 空间向量及其运算

考纲要求

1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．

1．空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得______．

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使________．

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得______________．其中，{a，b，c}叫做空间的一个______．

推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的一个有序实数组{x，y，z}，使OP＝____________.

2．两个向量的数量积

(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则______叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定____≤〈a，b〉≤____.若〈a，b〉＝____，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.

(2)两向量的数量积．

两个非零向量a，b的数量积a²b＝______________. (3)向量的数量积的性质(e是单位向量)：

①a²e＝|a|______________；②a⊥b a²b＝____；

2

③|a|＝a²a＝____；④|a²b|____|a||b|. (4)向量的数量积满足如下运算律：

①(λa)²b＝λ(a²b)；②a²b＝______(交换律)； ③a²(b＋c)＝____________(分配律)． 3．空间向量的坐标运算

(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a±b＝____________________； λa＝________________(λ∈R)； a²b＝________________； a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝____；

a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； 2222

|a|＝a²a |a|a1＋a2＋a3(向量模与向量之间的转化)；

a²ba1b1＋a2b2＋a3b3

cos〈a，b.

|a||b|12＋a22＋a32b12＋b22＋b32

(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，

则AB＝(x2－x1，y2－y1，z

2－z1)， |AB|(x2－x1)＋(y2－y1)＋(z2－z1).

2

2

2

1．在下列命题中：

①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；

②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面； ③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；

④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使

得p＝xa＋yb＋zc.

其中正确命题的个数是( )． A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值为( )．

137

A．1 B．555

3．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )．

111A．2，．－，

232C．－3,2 D．2,2

4．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则点D的坐标为________．

5．已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b的夹角的余弦值为__________．

一、空间向量的线性运算

【例1－1】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1

中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，

c分别表示以下各向量：

(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1.

【例1－2】已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA＝2xBO＋3yCO＋4zDO，则2x＋3y＋4z＝__________. 方法提炼

空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的，要用类比的思想去掌握．在空间向量的加、减、数乘等线性运算中，要选择适当的向量为基底，用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算，同时还要以相应的图形为指导．

请做演练巩固提升1

二、空间向量的数量积

【例2】已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设AB＝a，AC＝b， (1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c； (2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；

(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值． 方法提炼

1．两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，这是与空间向量的加、减、数乘等线性运算最大的区别．

2．利用两空间向量的数量积运算公式，可以求向量的模、求两个向量的夹角、证明两个向量垂直等．

请做演练巩固提升3

三、空间向量的坐标运算

【例3－1】已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c， 求：(1)a，b，c；

(2)a＋c与b＋c所成角的余弦值．

【例3－2】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，AA1的中点．

(1)求|BN|；

(2)求cos〈BA1，CB1〉的值；

(3)求证：A1B⊥C1M. 方法提炼

空间向量的坐标运算使向量的运算摆脱了形的制约，可以将空间元素的位置关系转化成数量关系，将逻辑推理转化成数量计算，可以化繁为简，因此是处理空间问题的一种重要工具和方法．

请做演练巩固提升

2

正确构建空间直角坐标系

【典例】(12分)如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点A

31

的坐标是 ，，0

，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.

22

(1)求OD的坐标；

(2)设AD和BC的夹角为θ，求cos θ的值．

规范解答：(1)如图所示，过D作DE⊥BC，垂足为E.在Rt△BDC中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得

BD＝1，CD＝3.

∴DE＝CDsin 30°＝

32

1212

OE＝OB－BDcos 60°＝1－＝13

∴D点坐标为 0，－ ，

22 13

即OD的坐标为 0，－， .(6分)

22

31

，0 ，OB＝(0，－1,0)，OC＝(0,1,0)， 22

33

∴AD＝OD－OA＝ －1， ，BC＝OC－OB＝(0,2,0)．(8分)

2 2

由AD和BC的夹角为θ，

(2)依题意，OA＝ 得cos θ＝

AD BCADBC

－

＝

33³0＋(－1)³2＋³022

3 2 3 22

－＋(－1)＋

0＋2＋0 2 2

10

. 5

10

.(12分) 5

答题指导：解答空间向量的计算问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：

(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误； (2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化． 另外，平时要重视运算的训练，强化计算速度及准确度的训练以及熟练掌握向量运算的方法．

∴cos θ

1．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB

，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2，现用基向量OA，设OGOB，OC表示向量OG，＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别是( )．

111

A．x＝yz＝333111B．x＝yz＝336111C．x＝yz＝363111D．x＝y，z＝

633

2．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( …… 此处隐藏：3024字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……