直线与圆锥曲线位置关系经典总结1

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直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与椭圆的位置关系: 2 2 x y 设直线与椭圆方程分别为: y=kx+m与 2 2 1 : a b y=kx+m 联立方程组 2 2 2 2 2 2 消去y得: Ax2+Bx+C=0 b x +a y =a b 相离 (1)△>0 相交 (2)△=0 相切 (3)△<0

2.直线与双曲线的位置关系:

x2 y2 设直线与双曲线方程分别为: y=kx+m与 2 2 1: a b

(1)若直线与渐近线平行, 则相交且只有一个交点. (2)若直线与渐近线重合, 则相离即没有交点. y=kx+m (3)若直线与渐近线相交, 联立方程组 2 2 2 2 2 2 b x -a y =a b 消去y得: Ax2+Bx+C=0 相离 相交 ②△=0 相切 ③△<0 故①△>0

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3.直线与抛物线的位置关系: 设直线与抛物线方程分别为: y=kx+m与y2=2px:

(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点. y=kx+m (2)若直线与对称轴相交, 由 2 得: Ax2+Bx+C=0 y =2px 相离 相交 ②△=0 相切 ③△<0 故①△>0

直线与抛物线或双曲线有一个公共点 就是直线与抛物线或双曲线相切吗？

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判断直线与曲线位置关系的操作程序把直线方程代入曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的渐近线

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

或抛物线的对称轴平行 相交(一个交点)

相交

相切

相离

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知识点一:

圆锥曲线中的弦长问题

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例1 斜率为1的直线经过y2=4x的焦点,与抛物线相交于 两点A、B,求线段AB的长. 解: 设A和B的横坐标分别为x1和x2 则|AF|=x1+1, |BF|=x2+1 ∴|AB|=x1+x2+2

方法2:设A( x1 , y2 ), B( x2 , y2 )

由条件知直线AB的方程为y=x-1 y=x-1 x2-6x+1=0 x1+x2 6,x1 x2 1 知 由 2 y =4x2 2

| AB | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )

( x1 x2 ) 2 (kx1 b kx2 b) 2 1 k 2 | x1 x2 | 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2 2 4 2 8 1 2 AB 1 k x1 x2 1 2 y1 y2 k2 2

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【知识点二:直线与圆锥曲线交点个数问题】

例2:(1)过点A(1,2)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的 2 直线有___条;(2)过点B(0,2)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的 3 直线有___条; 2 3 直线有___条;

x 2 y 1只有一个公共点的 (3)过点C(2,0)且与双曲线 4 x2 y2 1 (4)过点D(-1,2)且与双曲线 44 只有一个公共点的直线有___条.

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知识点三: 利用直线与圆锥曲线位置 关系求字母 的取值或取值范围；例3.(1)过点(-1,0)的直线l 与抛物线y2=6x有公共点, 6 6 [ , ] 则直 线l 的斜率的范围是___________. 2 2

x y (2)过原点与双曲线 1交于两点的直线 4 33 3 ) ( , ) 斜率的取值范围是__________________. 2 2 ( ,

2

2

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(3).若直线L:y=ax+1与双曲线: 3x2-y2=1的左、 右两支各有一个公共点,则实数a的取值范围 是

( 3, 3 )

.

“画图”是解题的首要环 节.

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x y 1 (4).直线L:y=kx+1与椭圆C: 5

m恒有公共点,则实数m的取值范围是 ( D ) (A) (0,1) (B) [1, +

2

2

)

(C) (5,+ ) (D)[1,5) (5, )

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知识点四: 有关弦中点的问题(求中点弦所在直线方程 和弦的中点轨迹方程)x2 y2 【例4】 已知椭圆 16 9 1 ,求以点P(2,1)为中点的弦所在

的直线方程.

x2 y2 对于椭圆 M N 1 (a b 0) 设 ( x1 , y1 ) 、 (x2 , y2 ) 2 b2 a2 2 2 2 2 2

点评:本题属于中点弦问题,一般采用韦达定理和点差法求解. x1 y1 2 2 1 a b 2 2 x2 y 2 1 a2 b2

则:

x x y y (1) 1 ( )-(2)得 1 2 2 1 2 2 0 a b2 b y1 y2 y1 y2 (3) (2) x x x x a 2 1 2 1 2

y1 y2 y1 y2 2 y中 y中-0 k MN , = x1 x2 x1 x2 2 x中 x中-0 y1 y2 设椭圆的中心为O,MN的中点为P,则 kop 即(3)可表示为 k MN kopb 2 a2

x1 x2

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例5、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线 交于A、B,求AB中点的轨迹方程.y

解： 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点 M ( x, y) y1 2 x1 y1 y2 2 由 2 相减得： ( x1 x2 ) x1 x2 y1 y2 y2 2 x2 2

A

O

.

M Q

F

xB

k AB又k AB

1 y

y 1 x 2

1 y 1 即y 2 y x 2 0 y x 2

当x1 x2 =2时， , y )为(2, 0)满足y 2 y x 2 0 (x

中点M轨迹方程为: y 2 y x 2 0

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知识点五:

圆锥曲线上的点到直线的距离的最值。

例6.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中 点纵坐标的最小值。yM A D F

B

解：设A( x1 , y1 ), B ( x2 y2 ), AB 中点 M ( x, y )x

2 MN AD BC ,AD BC 2(

MN

oN C

1 y) 4

p 1 y y, 2 4

AD AF , BC BFAF BF 2( 1 y) 4

ABF中, AF BF AB 22( y 1 3 ) 2, 即y 4 4

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知识点六:

圆锥曲线上的点对称 问题；

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例 7 、 若 抛 物 线 y2 x 存 在 关 于 直 线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: 2 k 0 分 析： 假设 存在 关于 直线 l : y 1 k ( x 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k 0 不合题意,∴ k 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y x b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.

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归纳与小结1.直线与圆锥曲线位置关系问题及弦长问题的处理 思路 和方法。2.数学思想：数形结合、点差法, 判别式法, 韦达定理，分类讨论等。 ,

设而不求,联立方程组,韦达定理这是研 究直线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方 法.

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直线与圆锥曲线位置问题的有关知识点:知识点一: 直线与圆锥曲线交点个数问题；

知识点二:知识点三: 知识点四: 知识

点五:

有关曲线的弦长问题；有关弦中点问题(求中点弦所在直线方程 和弦的中点轨迹方程); 利用直线与圆锥曲线的位置关系求字母 的取值或取值范围； 圆锥曲线上的点对称问题；

知识点六:

圆锥曲线上的点到直线的距离的最值。