小学校奥林匹克数学课本_小学生5年级_奥数

华罗庚学校数学课本（五年级 修订版）

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第一讲 数的整除问题

第一讲 数的整除问题

　　数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识

　　1.整除——约数和倍数

　　例如：15÷3=5，63÷7=9

　　一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。

　　如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

　　例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。　　2.数的整除性质

　　性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

　　即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

　　例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），

　　并且2｜（10—6）。

　　性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

　　性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

　　即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

　　例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,

　　那么（2×7）｜28。

　　性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

　　即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

　　例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

　　3.数的整除特征

　　①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

　　②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

　　③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

　　④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

　　例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.

　　⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

　　例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。

　　⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

　　例如：判断123456789这九位数能否被11整除？

　　解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4

＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。

　　再例如：判断13574是否是11的倍数？

　　解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。

　　⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

　　例如：判断1059282是否是7的倍数？

　　解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。

　　再例如：判断3546725能否被13整除？

　　解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.

二、例题　　

　　解：∵45=5×9，

　　∴根据整除“性质2”可知　　

　　∴y可取0或5。　　　　

　　∴满足条件的六位数是519930或919935。

例2 李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？

　　解：∵9□.2□元=9□2□分

　　28＝4×7，

　　∴根据整除“性质2”可知

　　4和7均能整除9□2□。

　　4｜2□可知□处能填0或4或8。　　因为7

9020，79424，所以□处不能填0和4；

　　因为7｜9828，所叫□处应该填8。

　　又∵9828分=98.28元

　　98.28÷28＝3.51（元）

　　答：每支钢笔3.51元。　　

个条件的整数。

　　∴根据能被11整除的数的特征可知：

　　1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数，

　　即11｜（15—5a）.或11｜（5a—15）。

　　但是15—5a=5（3—a），5a—15=5（a—3），又（5，11）=1，因此111（3—a）或11｜（a—3）。

　　又∵a是数位上的数字。

　　∴a只能取0～9。

　　所以只有a=3才能满足11｜（3—a）或11｜（a—3），

　　即当a=3时，11｜15—5a。

　　符合题意的整数只有1323334353。　　

　　互不相同），且它能被11整除，你能找到一个符合条件的整数吗？

　　解：∵91=7×13，且（7，13）＝1。

　　根据一个数能被7或13整除的特征可知：　　　　　　

　　因为（7，10）=1，（13，10）＝1，所以7，13，13也就是7；反复使用，因此，用一次性质（特征），就去掉了两组

性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除，当且仅当能被7以及13整除=364　　又∵91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位数字是3，∴

例5 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。　　

　　5整除，所以它应满足以下三个条件：

　　第一，数字和（8+6＋5+a+b+c）是3的倍数。　　

　　第三，末位数字c是0或5。　　　　

　　又∵能被4整除的数的个位数不可能是5。

　　∴c只能取O.因而b只能取自O，2，4，6，8中之一。 　　

　　∴a＋b除以3余2。

　　为满足题意“数值尽可能小”，只需取a=0，b=2。

　　∴要求的六位数是865020。　　

　　分析 ∵26=2×13，　　　　　　

　　∴y可能取0、2、4、5、6、8。

　　当y＝0时，　　　　　　

　　＝7×13x+9x+13＋6

　　∴根据整除“性质1”，有13｜9x+6，

　　经试验可知只有当x＝8时，13｜9x＋6，

　　∴当y=0时，符合题意的六位数是819910。

　　所以13整除9x＋6—2，

　　即13｜9x+4。

　　经试验可知只有当x＝1时，13｜9x+4。

　　∴当y＝2时，符合题意的六位数是119912。

　　同理，当y＝4时，13｜9x＋6-4，

　　即13｜9x+2，

　　经试验可知当x＝7时，13｜9x+2。

　　∴当y=4时，符合题意的六位数是719914。

　　同理，当y＝6时，13｜9x＋6—6。

　　即13｜9x.　　

　　∴当y=6时，找不到符合题意的六位数。

　　同理，当y＝8时，13｜9x+6-8，

　　即13｜9x-2。

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