数字高程模型在土方量计算方面的应用

数字高程模型在土方量计算方面的应用

杨文萍

（山西省晋城市土地开发整理中心）

摘要土方量计算是土地整理项目规划设计的重要内容之一，准确快速地计算土方量对开展规划设计、控制总投资及资金分配具有重要意义。本文就数字高程模型在土方量计算中的应用进行了分析阐述。

关键词数字高程模型三角网

土方量传统的土方量计算方法有多种，常用的有断面法、方格网法、散点法和表格法。每种方法都存在着一定的不足，总体来讲就是数据采集方式机械且复杂，数据采集量大，对实际地面的起伏变化描述不够精确等。正由于其存在着的诸多缺点，进而导致最终所建立的模型失真，这也就使得最后所计算出来的结果不能满足高精度土方量计算的要求。就目前的土方量计算研究现状，本文采用了数字高程模型的计算方法进行土方量计算。１

利用数字高程模型法计算土方量的基本原理

土石方量计算有给定设计标高和不给定设计标高两种：不给定设

计标高的土石方量是指对于一个区域，进行场地平整时，不对外产生挖、填方量，可用程序计算场地平整后的标高和绘制挖填平衡线。给定设计标高又分两种：一种是设计标高固定，设计平面为水平面；另一种是设计标高是变动的，设计平面为一个倾斜面或几个倾斜面的组合，均可用程序建立设计面的平面方程，用设计平面与数字高程模型相切，计算每个格网内的方量，汇总得到整个区域的挖、填方量和总方量。

由数字高程模型来计算土方量是根据实地测定的地面点坐标（Ｘ，Ｙ，Ｚ）和设计高程，通过生成三角网来计算每一个三棱柱的填挖方量，最后累计得到指定范围内填方和挖方的土方量。如果将ＤＥＭ视为空间的曲面，填挖前后的两个ＤＥＭ即为两个空间曲面，那么计算机便可以自动计算两个曲面的交线，也可以用一个铅垂面同时对两个曲面任意切割，并计算夹在两个切割下来的曲面间的空间的体积，实际上就是土方计算的填挖交界线、填方量和挖方量。２

数字高程模型的内插

内插是数字高程模型的核心问题，它贯穿在数字高程模型的生产、质量控制、精度评定和分析应用等各个环节。数字高程模型内插就是根据若干个相邻参考点的高程求出待定点上的高程值，在数学上属于插值问题。任意一种内插方法都是基于原始地形起伏变化的连续光滑性，或者说邻近的数据点间有很大的相关性，才可能由邻近的数据点内插出待定点的高程。

按内插点的分布范围，可将内插分为整体内插、分块内插或逐点内插三类。而根据二元函数逼近数学面和参考点的关系，内插又可以分为纯二维内插和曲面拟合内插两

种（具体分类参见图１）。二维插值要

多项式内插

插值样条函数求曲面通过内插范围的全部参考点，双线性内插

分块内插

曲面拟合则不要求曲面严格包括参考多项式

拟合样条函数内插

点，但要求拟合面相对于已知数据点ＤＥＭ内插多层叠加面内插

最小二乘配置法内插

的高差和平方和最小，即遵从最小二加权平均值法

逐点内插移动拟合法

乘法则。可见，内插的中心问题在于

最小二乘配置法

邻域的确定和选择适当的插值函数。整体内插高次多项式

３

利用ＤＥＭ进行土石方工程量计算

图１ＤＥＭ内插分类

根据数模理论，任何复杂的表面（地面、设计面）都可以用三角网图２填挖体积的几何示意图

表示、模拟。因此，三维土方量计算方法的核心就是对每对重合的地面三角形和设计三角形（三角形对）之间的体积计算。见图２，其填

挖体积的计算不外乎图中所示的４种关系。

由于每一个空间三角形与其在指定计算高程平面上的投影都形成一个三棱柱，所以土方量的计算最终可归结为若干三棱柱的体积运算：对每个三棱柱计算其填、挖方量并加以累积，就可以得到最终结果。再次，根据数学公式将每个不规则三棱柱的体积计算出来，以“＋”表示挖方，以“－”表示填方。最后分别统计体积为“＋”和体积为“－”的形体的体积总和，这样“－“的体积总和就是该地形内的填方数，“＋”的体积总和就是该地形内挖方数。

经参考其他文献和根据图形的几何关系可得出下列体积的计算公式［１］

：

①对于全挖或全填的三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１（图３），可将三棱柱分为Ｃ１－Ａ１Ａ２Ｂ２Ｂ１与Ａ２Ｂ２Ｃ１－ＡＢＣ两部分进行计算，经计算得：

（１）

式中，ｓ１为三角形ＡＢＣ的面积；ｈ１，ｈ，ｈ都是己知地面高程与给２３

定设计高程之间的高差。

图３全挖、全填情况图图４有挖、有填情况图

②对于部分挖与部分填的三棱柱（图４），可分解为楔体Ｏ１Ｏ２－Ｂ１Ｃ１ＣＢ和三棱锥Ａ１－ＡＯ１Ｏ２两部分。则楔体体积Ｖ为：２

（２）

三棱锥Ａ１－ＡＯ１Ｏ２的体积Ｖ为：１

（３）

式２、式３中ｓ２、ｓ３、ｓ分４

别为△ＢＯ１Ｏ２、△Ｏ２ＢＣ、△ＡＯ１Ｏ２的面积；ｈ１，ｈ２，ｈ都是已知地面高程与给定设计高程之间的高差。３

在此不必考虑公式中的符号，因为以“＋”表示挖方，“－”表示填方。其中三角形面积计算可采用如下公式：

（４）

４

总结

直接采用原始离散高程点（包括地形特征点）构建三角网，并用三棱柱法计算土方量，具有描述地面模型逼真，保持原始数据的原有精度的优点。三棱柱法的计算公式又是根据立体几何体积计算公式推导出来的。其公式严密、计算结果精确，还具有作业方式灵活简便、作业效率高的优点。虽然计算繁琐，但在可编程计算器和微机普遍使用的今天，编制程序进行计算即快速又准确。此法操作简单、快速准确，在生产实践中已取得了较好的效果。

参考文献

［１］徐敬海，李明峰，刘伟庆．一种基于ＤＥＭ的土方计算方法．南京建筑工程学院学报，２００２，（１）：２６－３１

［２］柳长顺，齐实，杜丽娟．土地整理项目土方量计算方法．中国水土保持科学，２００３，１（２）：７７－７９（收稿日期：２００８ ０８ ２２）