数值分析(清华大学出版社)第1,2章

数值分析 Numerical Analysis主讲 张学莹

zhangxy@

教材 (Text Book)李庆扬、王能超、易大义，数值分析(5 版), 北京：清华大学出版社,2008

参考书目 (Reference) 易大义，陈道琦，数值分析引论,浙江大学出版社,2000 蔡大用，白峰彬，高等数值分析，清华大学大学出版社， 1997 J.Stoer & R. Bulirsch,Introduction to Numerical Analysis (Second Edition),New York: Springer, 1993

其他(略)2

课程简介数值计算方法是计算数学的一个分支, 又称数值 分析或计算方法, 它是研究用计算机求解各种数学 问题的数值方法及其理论的一门学科, 是程序设计 和对数值结果进行分析的依据和基础。应用计算机解决科学技术和工程问题的步骤： (1) 提出实际问题 (3) 选用数值计算方法 (4) 编程上机计算得出数据结果。3

(2) 建立数学模型

提问：数值分析是做什么用的？

由于计算机和科学计算的发展，求解各种数学 问题的数值方法也愈来愈应用于科学计算的各个领 域，新的交叉学科不断涌现，如计算力学、计算物 理、计算生物学、计算经济学等，统称为科学计算。 科学计算、理论研究、试验研究

计算数学研究适用于计算机编程的算法基础性、应用性、边缘性 面向计算机的算法：串行、并行

好的算法的标准：可靠的理论性、 计算复杂性好(时间复杂性、空间复杂性)数值分析的特点： 面向计算机、有可靠的理论分析、好的计算复杂性、 数值试验 数学软件 软件包 LAPACK(EISPACK,LINPACK) 、 IMSL 、NGA(1000多个)、 MATLAB6

第二节一、误差的来源1. 模型误差:

数值计算的误差

在建立数学模型过程中, 不可能将所有因素均考虑, 必 然要进行必要的简化, 这就带来了与实际问题的误差。

2. 观测误差: 测量已知参数时, 数据带来的误差。3. 截断误差: 在设计算法时,近似处理带来的误差。

例如： 函数 f ( x )用泰勒多项式1 1 ( n) 2 Pn ( x ) f (0) f (0) x f (0) x f (0) x n 2! n!

近似代替时，有误差1 ( n 1) n 1 Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) f ( ) x ( n 1)!

其中 在 0 与 x 之间。这种误差就是截断误差。

4. 舍入误差: 计算机的字长是有限的, 每一步运算 均需四舍五入, 由此产出的误差。 例如：用3.14159近似代替 , 产生的误差R 3.14159 0.0000026

就是舍入误差。

二、误差的基本概念1. 误差和误差限设x 是准确值 x 的一个近似值,称 e( x ) x x

为近似值 x 的绝对误差, 简称误差. e( x )又简记 e . 误差是有量纲的，可正可负。 误差是无法计算的 (因为准确值 x 不知道), 但可以 x x ( x ) ,称 ( x

) 估计出它的一个上界。即 是近似值 x 的绝对误差限, 简称误差限.10

2. 相对误差和相对误差限 称

e( x ) x x er ( x ) x x r

为近似值 x 的相对误差。简记为 e 。 实际计算中, 由于准确值 x 总是未知的, 且由于

e ( x ) e ( x ) e( x )( x x ) xx x x 2 2 (er ( x )) (e( x )) 1 er ( x ) x ( x e( x ))11

er ( x ) 的平方项级, 故当 er ( x ) 较小时, 常取 是

e( x ) x x er ( x ) x x

相对误差是无量纲的, 也可正可负, 它的绝对值的上 界称为该近似值的相对误差限, 记作 r ( x ) 简记为 r

三、有效数字如果近似值x* 的误差限是其某一位的半个单位, 定义： 该位到x*的第一位非零数字共有n 位, 我们称x* 有n 位有效数字。n位 x*

误差限不超过该位的半个单位 自左向右看, 第一位非零数字13

例 π = 3.1415926535 , 取 x* = 3.14 时，x * x 0.002 0.005

所以 x* = 3.14 作为π的近似值,有3位有效数字；

而取x*=3.1416 时,

所以 x* = 3.1416 作为 π 的近似值,有5位有效数字。

下面给出有效数字的另一等价定义定义：用 x 表示x 的近似值，并将 x 表示成x 0. a1a2 an ak 10m

自左向右看, 第一位非零数字1 x x 10m n ,则称 x 具有 n 位有效 若其误差限 2

数字, 这里 m 是整数, a1, a2 , , ak 为 0~9 中的一个数字, 且a1 0.15

例

= 3.1415926535 , 取 x= 3.14时，

1 x x 0.002 0.005 10 2 2

即 m- n = - 2, m=1, n = 3, 所以 x = 3.14 作为 近似值 时, 就有3 位有效数字。

四、 相对误差限与有效数字的关系定理1设近似值

x 0.a1a2 an 10m

有n 位有效数字， a1 0 。则其相对误差限为 1 n 1 r (x ) 10 2a1 x 0.a1a2 an 10m 故 证明a1 10m 1

| x | (a1 1) 10

m 1

r (x )

x x x

0 .5 10m n 1 10 n 1 a1 10m 1 2a117

定理2 设近似值 x 0.a1a2 an 10 的相对误差限m

1 10 n 1 ,则它至少有n 位有效数字。 不大于 2( a 1) 1

证明 已知

r x*

*

1 10 n 1 2( a1 1)* *

x x x r (x ) ( a1 1) 10m 1

故 x 至少有n 位有效数字。18

1 10 m n 2

1 10 n 1 2( a1 1)

例 要使 20 的近似值的相对误差限小于0.1% ,要取几位有效数字。 4 20 5 , 所以 a1 4 , 解 由于1 10 n 1 0.1% , 由定理1有 2a1 1 n 4 即 10 , 得 n 4 8 故只要对 20 的近似数取4 位有效数字,其相对误

差

就可小于0.1%, 因此,可取 20 4.47219