8圆锥曲线定义的应用

圆锥曲线定义的应用

一、基本知识概要

1、 知识精讲：

涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理； 涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。 椭圆的定义：点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；

双曲线的定义：点集M={P|︱|PF1|-|PF2|︱=2a， (2a |F1F2|) }的点的轨迹。 抛物线的定义：到一个定点Ｆ的距离与到一条得直线Ｌ的距离相等的点的轨迹．

d

重点、难点：培养运用定义解题的意识 2、 思维方式：等价转换思想，数形结合 特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系 二、例题选讲

例1 、 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别为1和2，且|O1O2|=4，动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线。

解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为轴建立平面直角坐标系。由|O1O2|=4有O1（-2，0），O2（2，0）。设动圆的半径为r。由动圆M与圆O1内切有|MO1|=|r-1|. 由动圆M与圆O2内切有|MO2|=r+2。∴|MO1|+|MO2|=3或|MO1|-|MO2|=-3,∵|O1O2|=4∴|MO1|-|MO2|= -3

统一定义：M={P|

PF

e，}0＜e＜1为椭圆，e>1为双曲线，e＝1为抛物线

4x24y2

1 ∴M的轨迹是以O1、O2为焦点，长轴为3的双曲线的左支。所以M的轨迹方程为97

（x<0）

[思维点拔]利用圆锥曲线定义求轨迹是一种常用的方法

x2y2

变式练习：F１、F２是椭圆2 2 1 （a>b>0）的两焦点，P是椭圆上任一点, 从任

ab

一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q的轨迹为（ ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A

等腰三角形APF1中， PF1 AP从而AF2 AP PF2 PF1 PF2 2a

OQ

1

AF2 a选A 2

x2y2

例２：已知双曲线2 2 1（a＞０，b＞０），Ｐ为双曲线上任一点，∠F1PF2=θ, 求

ab

ΔF1PF2的面积．

解：在ΔF1PF2中，由三角形面积公式和余弦定理得ＳΔF1PF2＝

2

2

2

1

｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜2

sinθ ①(2c)＝｜ＰＦ１｜+｜ＰＦ２｜-2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜cosθ ②由双曲线的定义

22

可得｜ＰＦ１｜-｜ＰＦ２｜=2a, 即｜ＰＦ１｜+｜ＰＦ２｜-2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜=4a2 ③

2b2sin

由②③得｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜=④ 将④①代入得ＳΔF1PF2＝b2=b2cot,

1 cos 1 cos 2

所以双曲线的焦点三角形的面积为b2cot

． 2

[思维点拔]焦点三角形中，通常用定义和正余弦定理

x2y211

例３：已知Ａ（，３）为一定点，Ｆ为双曲线 1的右焦点，Ｍ在双曲线右

9272

1

｜ＭＦ｜最小时，求Ｍ点的坐标． 2

11

解：∵过Ｍ作ＭＰ准线于点Ｐ，则｜ＭＦ｜＝｜ＭＰ｜，∴｜ＡＭ｜＋｜ＭＦ｜

22

1

＝｜ＡＭ｜＋｜ＭＰ｜≤｜ＡＰ｜．当且公当Ａ、Ｍ、Ｐ三点共线时，｜ＡＭ｜＋｜Ｍ

2

支上移动，当｜ＡＭ｜＋

Ｆ｜最小。此时Ｍ（2，３）。

1

[思维点拔]距离和差最值问题，常利用三角形两边之和差与第三边之间的关系. 数量关

2系用定义来进行转换

x2y2

变式：设Ｐ（x,y）是椭圆2 2 1 （a>b>0）上一点，Ｆ１、Ｆ２为椭圆的两焦点，

ab

求｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜的最大值和最小值。

解：由椭圆第二定义知｜ＰＦ１｜＝a+ex,｜ＰＦ2｜＝a-ex, 则｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜

2222

=a2-e2x2,而0≤x≤a,所以｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜的最大值为a，最小值为b。

2

例4．过抛物线y＝2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于P1、P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切．

分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．

证明：如图2-17．设P1P2的中点为P0，过P1、P0、P2分别向准线l引垂线P1Q1，P0Q0，P2Q2，垂足为Q1、Q0、Q2，则

｜P1F｜＝｜P1Q1｜，｜P2F｜＝｜P2Q2｜ ∴｜P1P2｜＝｜P1F｜＋｜P2F｜ ＝｜P1Q1｜＋｜P2Q2｜＝2｜P0Q0｜

所以P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因而圆P0和准线l相切．

[思维点拔]以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切．类似有：以椭圆焦点弦为直径的

圆与相对应的准线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．以上结论均可用第二定义证明之．

变式：求证：以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆相切．

取F1P的中点为O1，连结O1O，只须证明：以F1P为直径的圆与实轴A1A2为直径的圆内切．

在△PF1F2中，O1O为△PF1F2的中位线

故以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆内切．

例5、求过定点（1,2），以x轴为准线，离心率为0.5的椭圆的下顶点的轨迹方程。 解：设下顶点为A(x,y)，由题意知x轴为椭圆的下准线，设下焦点为F(x0,y0)

3y

则x0 x,y0 。由椭圆定义

2

x0 12 y0 22

2

2

2

1 2

9 4

将x0,y0代入即可得椭圆方程为： x 1 y 1

4 3

三、课堂小结

1、 圆锥曲线的定义是根本，对于某些问题利用圆锥曲线的定义来求解比较简捷

涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理；涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。

四、作业布置：优化训练。

www:/

教育库之数学库

教育库之数学库

Page 4

1/22/2014