2011年四川省资阳市中考数学试题及答案(word版)(3)

在Rt△OBA中，由勾股定理，得AB

(cm)． ········· 2分 ∴沿A→B路线行进所用时间为：

÷10≈300×2.236÷10≈67(秒)． ···· 3分 (2) 在Rt△OBC中,OB=300,∠OCB=45°,∴OC= OB=300cm,BC=∴AC=600－300=300(cm)．

∴沿A→C→B路线行进所用时间为：AC÷20+BC

)． ····································· 6分 (3) 在AO上任取异于点P的一点P′，作P′E′⊥AD于E′，连结P′B， 在Rt△APE和Rt△AP′E′中，sin30°=

EPE P APAP

=，∴EP=，E′P′=． ·· 7分 APAP 22

1

BE(秒)， 10

300

(cm) ·· 4分 sin45º

∴沿A→P→B路线行进所用时间为：AP÷20+PB÷10= EP÷10+PB÷10=(EP+PB)÷10=沿A→P′→B路线行进所用时间为：

AP′÷20+P′B÷10= E′P′÷10+P′B÷10=(E′P′+P′B)÷10=

分

连结BE′，则E′P′+P′B > BE′>BE，∴

1

(E′P′+P′B)(秒)． 810

11

BE <(E′P′+P′B)． 1010

∴ 沿A→P→B路线行进所用时间，小于沿A→P′→B路线行进所用时间．

即机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短． ················· 9分 25. (1) 连接AB．∵ A点是抛物线C的顶点，且C交x轴于O、B，∴AO=AB，

又∵∠AOB=60°，∴ △ABO是等边三角形． ·················· 1分

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过A作AD⊥x轴于D，在Rt△OAD中，易求出OD=2，AD

=，

∴ 顶点A的坐标为(2

，)． ······················· 2分 设抛物线C

的解析式为y a(x 2)2 a≠0)，将O(0，0)的坐标代入，可求a

=∴ 抛物线C

的解析式为y (2) 过A作AE⊥OB于E，

∵ 抛物线C：y ax2 bx c(a 0)过原点和B(4，0)，顶点为A，∴ OE=

1

OB=2， 2

2

． ················· 3分 又∵ 直线OA的解析式为y=x，∴ AE=OE=2，∴ 点A的坐标为(2，2) ． ····· 4分 将A、B、O的坐标代入y ax2 bx c(a 0)中，易求a=

1

， 2

1

∴ 抛物线C的解析式为y x2 2x． ··················· 5分

2

又∵ 抛物线C、C′关于原点对称，∴ 抛物线C′的解析式为y

12

x 2x． ··· 6分 2

(3) 作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0），

由前可知，抛物线C′的顶点为A′（－2，－2），故A′B的中点M的坐标为（1，－1）， 作MH⊥x轴于H，易证△MHN∽△BHM，则MH2 HN HB，即12 (1 n)(4 1)， ∴ n

22

，即N点的坐标为（，0）．

33

2

，0），∴ 直线l的解析式为y 3x 2， ··· 8分 3

∵ 直线l过点M（1，－1）、N（

y 3x 2, 解 得，x 5 ． 12

y x 2x

2

∴ 在抛物线C上存在两点使得PB PA ，其坐标分别为

P1

(5

13 ),P2

(5

, 13 ) ··············· 9分

y 3x 2, 解 得，x －5 12

y x 2x

2

∴ 在抛物线C′上也存在两点使得PB PA ，其坐标分别为

- 12 -

P3(－

，17－

，P4(－5

． ············ 10分

(用两点间的距离公式解决亦可)

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