数学系毕业论文浅谈构造法在高中数学解题中的应用(2)

c x,b ，则原函数就可化为

y

所以 x c x2 a b2 c2 a b, 2

ymin c2 a b. 2

例2 设a,b,c是平面上的单位向量，且a b 0，则 a c b c 的最小值为

解 设a 1,0 ，b 0,1 ,c cos ,sin ，则

a c b c =1 2sin ， 4

所以当sin 1时， a c b c 取得最小值，为1-2. 4

3.2 构造函数

函数在我们整个中学数学是占有相当的内容，学生对于函数的性质也比较熟悉。选择熟悉的内容来解决不熟悉的题目，同时也达到了训练学生的思维，增强学生的思维的灵活性、创新性.

例3 已知函数ex 2x a，当有实数根时,a的范围为解 令

f x ex,g x 2x a,

则f x 与g x 的函数图像有交点时，函数ex 2x a有实根.

因为f' x ex，所以当f' x 2时，x ln2，此时f ln2 2，则f x 在点 ln2,2 的切线方程为y 2x 2 2ln2.

所以当a 2 2ln2时，f x 与g x 的图像相切，当a 2 2ln2时，f x 与g x 的图像有交点.

因此a 2 2ln2, .

例4

求函数y .

解 由根号下的式子看出x+1-x=1且0 x 1,故可联想到三角函数关系式并构造x sin2 (0

2).

所以

y sinx cosx ). 4

当

4即x

1时，ymax. 2

3.3 构造数列

近几年来的高考题中经常出现与自然数n有关的数学问题尤其是不等式证明题，解这类问题时，一般根据题目的特征，通过替换、设想等构造出一个与求证问题相联系的数列，并对该数列的特征进行分析，常可获得解题的途径.如果从分析问题所提出的信息知道其本质与数列有关，那么该问题就可以考虑运用构造数列的方法来解.

例5 求证：111 ... 1(其中n N )． n 1n 23n 1

解 欲证含有与自然数n有关的和的不等式f n g n ,可以构造数列模型an f n g n ,只需证明数列 an 是单调递增，且a1 0．

构造数列

an

则有 an 1 an 1111 3n 43n 33n 2n 1

112 3n 43n 23n 3111 ... 1, n 1n 23n 1

所以数列 an 为递增数列． 2 0, 3n 23n 33n 41111 1 0，故an 0 (其中n N )，即原不等式得证． 23412

111 ... 2a 5对一切自然数n 例6 求自然数a的最大值，使不等式n 1n 23n 1 又因a1

恒成立.

解 令

an 111 ... ， n 1n 23n 1

对任意n N ， an 1 an

112 3n 23n 43n 31111 3n 23n 33n 4n 12 0， 3n 13n 23n 4所以an 1 an，an是单调递增数列（n N ），则an的最小值为a1，其中a1 11113 . 23412

故对一切自然数n使得an>2a 5成立的条件是

因此所求自然数a的最大值是3. 1373>2a 5，即a . 1224

3.4 构造方程

方程，作为高中数学的重要内容之一，与代数式、函数、不等式等知识密切相关。一般根据已知条件中的数量关系和结构特征，构造出一个新的方程，然后利用方程中的知识解决问题，使解答简洁、合理.通过构造方程解题的步骤如下：首先将所面临的问题转化为方程问题；然后解这个方程或讨论这个方程的有关性质（常用判别式与韦达定理），得出相应结论；最后将方程的相应结论再返回为原问题的结论.

x2 5x 1 例7 求y 2的值域. x x 1

分析 求函数的值域的方法很多,判别式法是常用的一种,它的理论依据是将y f x 化为关于x的二次方程,那么方程有实数解时,判别式 0,由此可求得函数的值．

x2 5x 1 解 将y 2变形为关于x的方程 1 y x2 y 5 x 1 y 0, x x 1

22当y 1时, y 5 4 1 y 3y2 2y 21 0,解得 3 y 7； 3

当y 1时,x 0.

x2 5x 17 7 所以y 3, ，则y 2的值域是 3, ． x x 13 3

例8 若 z x 4 x y y z 0，求证:x、y、z成等差数列. 2

解 本题证明方法很多，可以用构造法证明.注意到条件中的等式右边代数式的结构特点，容易联想起一元二次方程根的判别式，为此可构造以 z x 4 x y y z 为判2

别式的一元二次方程 x y t2 z x t y z 0.

由题可知,

z x 2 4 x y y z 0,

所以方程 x y t2 z x t y z 0有两个相等实根.

又因为把t 1代入，可得 x y z x y z 0,

所以t 1为方程 x y t2 z x t y z 0的一个根，从而t1 t2 1.

由韦达定理得:t1t2 1,从而2y x z，命题得证.

3.5 构造几何模型

华罗庚曾说过“数离开形少直观，形离开数难入微”，可见数形结合的思想是研究数学的基本思想之一，数与形是密不可分的.对于本身不具备图形的一些数学问题，如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接以图形的形式表示，然后借助几何图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论.

例9

求函数f(x) .

解

f(x)

其几何意义是平面内动点P x,0 到两定点M 2,3 和N 5, 1 的距离之和（如图1）. 为求其值域只要求其最值即可， 易知当M,N,P三点共线（即P在线段MN上）时，f(x)取得最小值，

f(x)min |MN| 5，无最大值，故得函数的值域为[5, ) .

例10 若 x 0,y 0,z 0.求证：x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2.

解 注意到x 0,y 0,z 0,观察题目特点， 从x2 xy y2 x2 y2 2xycos60 联想到余弦定理，可以构造三角形，同理，另外两个根式也可构造三角形，利用几何图形进行证明. x2 xy y2 x2 y2 2xycos60 表示以x，y为边,夹角为60 的三角形的第三边， 同理y2 yz z2，z2 zx x2也有类似的几何意义.

这样，我们构作顶点为O的四面体O-ABC（如图2），使得

AOB BOC COA 60 ,OA x,OB y,OC z ，

则有

AB x2 xy y2,BC y2 yz z2,CA z2 zx x2.

由于在 ABC中，AB BC AC,所以 x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2.

图1 图2 3.6 构造复数

复数是高中数学中的一个重要的知识点，它是实数的延伸,一些难以解决的实数问题通过构造转化为复数问题，虽然数的结构会变复杂,但常使问题简明化.

例11 求证：x2 y2 x2 (1 y)2 (1 x)2 y2 (1 x)2 (1 y)2 22。 分析 若注意到根号里各式子的特点:都是两个数的平方和,可以联想到复数的模,构造复数,再运用三角不等式便迅速得解.

证明 设

z1 x yi,z2 x (1 y)i,z3 1 x yi,z4 1 x (1 y)i，

则

z1 x2 y2.z2 x2 (1 y)2.z3 (1 x)2 y2|z4| 1 x2 1 y2

|z1| |z2| |z3| |z4|≥|z1 z2 z3 z4|=|2 2i| 22,

所以有：

x2 y2 x2 (1 y)2 (1 x)2 y2 (1 x)2 (1 y)2 22

成立.

例12 求函数y x2 22 x 12 32的最小值. x 1 2 32可以看作 x 1 3i的模，然后分析 x2 22可以看作x 2i的模，

利用复数模的性质求解.

解 设

z1 x 2i，z2 x 1 3i，

则 z1 z2 1 5i. 因为 z1 z2 z1 z2，

所以

x2 22 x 12 32 2 52=26.

当z1，z2同向时，即x x 12 时，有x 时，y的最小值为26. 235

3.7 构造等价命题

如果某些命题的表达比较抽象复杂、直接求解比较困难时，可以构造一个表达方式较为通俗易懂且和原命题等价的新命题，比如构造原命题的逆否命题、构造矛盾命题等.

例 …… 此处隐藏：3727字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……