高一数学必修四第一章 1.3.2 第2课时

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奇偶性的应用

【读一读学习要求，目标更明确】本 课 栏 目 开 关

1.进一步加深对函数的奇偶性概念的理解；2.会推断奇偶 函数的性质；3.培养学生利用数学概念进行判断、推理的 能力及加强化归与转化能力的训练. 【看一看学法指导，学习更灵活】 通过函数奇偶性的应用，加深对概念的理解，提高分析问 题和解决问题的能力，培养学生知识的迁移能力及数形结 合的应用意识.

填一填·知识要点、记下疑难点

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0 1.定义在 R 上的奇函数，必有 f(0)=______.2.若奇函数 f(x)在[a,b]上是增函数，且有最大值 M,增 则 f(x)在[-b,-a]上是_______函数，且有最小值

-M. 3. 若偶函数 f(x)在(-∞, 0)上是减函数， 则有 f(x)在(0, +∞)上是增函数.

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问题探究一本 课 栏 目 开 关

利用奇偶性求函数解析式

例1

函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x>0 时，f(x)

=-x+1,求当 x<0 时，f(x)的解析式.解 设 x<0,则-x>0,

∴f(-x)=-(-x)+1=x+1, 又∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数， ∴f(-x)=-f(x)=x+1, ∴当 x<0 时，f(x)=-x-1.

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小结

求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量

为 x,然后把 x 转化为-x,此时-x 成为了已知区间上的 解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当 推导，即可得所求区间上的解析式.

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跟踪训练 1 设 f(x)是偶函数， g(x)是奇函数， f(x)+g(x) 且本 课 栏 目 开 关

1 = ,求函数 f(x),g(x)的解析式. x-1

解

∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，

∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 1 由 f(x)+g(x)= ① x-1

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1 用-x 代换 x 得 f(-x)+g(-x)= , -x-1本 课 栏 目 开 关

1 ∴f(x)-g(x)= ,② -x-1 1 (①+②)÷ 2,得 f(x)= 2 ; x -1 x (① -②)÷ 2,得 g(x)= 2 . x -1

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问题探究二 问题 1本 课 栏 目 开 关

函数的奇偶性与单调性的关系

观看下列两个偶函数的图象在 y 轴两侧的图象有

何不同？可得出什么结论？

答

偶函数在 y 轴两侧的图象的升降方向是相反的；即

偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.

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问题 2

奇函数是否具有相同的性质？

答

由函数 y=x 这个奇函数的图象知， 奇函数不具有

偶函数单调性对应的性质.

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问题

3

观看下列两个奇函数的图象在 y 轴两侧的图象有

何不同？可得出什么结论？本 课 栏 目 开 关

答

奇函数在 y 轴两侧的图象的升降方向是相同的；即

奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同.

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例2

已知函数 f(x)是奇函数，其定义域为(-1,1),且

在[0,1)上为增函数.若 f(a-2)+f(3-2a)<0,试求 a本 课 栏 目 开 关

的取值范围.解 ∵f(a-2)+f(3-2a)<0,

∴f(a-2)<-f(3-2a). 又 f(x)为奇函数， ∴f(a-2)<f(2a-3).

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又 f(x)在[0,1)上为增函数， ∴f(x)在(-1,1)上为增函数，本 课 栏 目 开 关

a-2<2a-3 ∴ -1<a-2<1 -1<2a-3<1 ∴1<a<2.

a>1 ∴ 1<a<3 1<a<2

,

小结

在奇、 偶函数定义中， 交换条件和结论仍成立. 即

若 f(x)为奇函数，则 f(-x)=-f(x).若 f(x)为偶函数， 则 f(-x)=f(x).

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跟踪训练 2 已知函数 f(x)是奇函数， 其定义域为(-1,1), 且在[0,1)上为减函数.若 f(a-2)+f(3-2a)<0.本 课 栏 目 开 关

试求 a 的取值范围.解 ∵f(a-2)+f(3-2a)<0,

∴f(a-2)<-f(3-2a). 又 f(x)是奇函数， ∴f(a-2)<f(2a-3).

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又 f(x)在[0,1)上为减函数，本 课 栏 目 开 关

∴f(x)在(-1,1)上为减函数. a-2>2a-3, ∴ -1<a-2<1, -1<2a-3<1, a<1, ∴ 1<a<3, 1<a<2.

所以 a 的取值范围为空集.

研一研·问题探究、课堂更高效问题探究三 例3 抽象函数的奇偶性与单调性的综合

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设函数 f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函

数，又 f(x)在(0,+∞)上是减函数，且 f(x)<0,试判断本 课 栏 目 开 关

1 函数 F(x)= 在(-∞,0)上的单调性，并给出证明. f x

解

F(x)在(-∞,0)上是增函数，以下进行证明：

设 x1<x2<0,则-x1>-x2>0, ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数， ∴f(-x1)<f(-x2), 即 f(-x2)-f(-x1)>0.①

研一研·问题探究、课堂更高效又∵f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数， ∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2). 由①式得-f(x2)+f(x1)>0,本 课 栏 目 开 关

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即 f(x1)-f(x2)>0. 又∵f(x)在(0,+∞)上总小于 0, ∴f(x1)=-f(-x1)<0,f(x2)=-f(-x2)<0, f(x1)· 2)>0, f(x f x1 -f x2 1 1 F(x2)-F(x1)= - = >0. f x2 f x1 f x1 · 2 f x 1 故 F(x)= 在(-∞,0)上是增函数. f x

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小结

判断抽象函数奇偶性时， 赋值后出现 f(-x)和 f(x)

是关键，故赋值要恰当，要认真体会赋值法在

解题中的 作用.

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跟踪训练 3本 课 栏 目 开 关

已知函数 f(x),当 x,y∈R 时，恒有 f(x+

y)=f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； 1 (2)如果 x∈R ,f(x)<0,并且 f(1)=- ,试求 f(x)在区 2+

间[-2,6]上的最值.

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(1)证明本 课 栏 目 开 关

∵函数定义域为 R, 其定义域关于原点对称.

∵f(x+y)=f(x)+f(y),令 y=-x, 则 f(0)=f(x)+f(-x).令 x=y=0, 则 f(0)=f(0)+f(0),得 f(0)=0. ∴f(x)+f(-x)=0,得 f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数.

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(2)解本 课 栏 目 开 关

设 x1<x2,且 x1,x2∈R.

则 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)] =f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0. ∴f(x2)-f(x1)<0,即 f(x)在 R 上单调递减.