高中数学竞赛高斯函数

高斯函数（二）

一、常见题型与相关例题 1、 整数问题

12 22 19872

例1、 在项数为1987的数列 , , , 中有多少个不同的整数？

1987 1987 1987

2、 方程问题

方程问题主要有解方程与讨论方程的根两种题型。 例2、 解方程3x3 [x] 3。

例3、 证明方程[x] [2x] [22x] [23x] [24x] [25x] 12345无实数解。 3、 恒等问题

这类问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式。例如

n n 1

2 2 n(n N).

k

[nx]. n

n 1

例4、（Hermite恒等式）若n是正整数，x R，则 x

k 0

例5、已知n

N ,求证：

4、 不等问题

不等问题主要涉及含[x]的不等式分析。此类问题一般难度较大。 例6、设x,y R，试证：

（1）、2[]x2[] []y[ ]x[ y;] x y（2）、3[]x3[] []y[ ]x2[ y] x y注：与上面不等式相类似地还有 （3）、4[]x4[] []y[ ]x2[ y] 2[x .y] y x（4）、5[]x5[] []y[ ]x3[ y] 3[x .y] y x

n

.

例7、设x R,n N,试证：n[x]

k 1

[kx]k

[nx].

例8

、证明不等式 对任意不小于1的实数 ,

立。

例9、求所有正整数n使得min(k2 2 ) 1991.

k N

k

n

5、 求值问题

例10、若实数x满足[x

100

19100

] [x

20100

] [x

91100

] 546,求[100x]的值。

例11、计算和式 [

n 1

23n101

]的值。

6、 格点问题

平面区域内的格点计数问题，往往与[x]有关，而且通过格点计数，还可以证明一些恒等式。

n

n

例12、设n N,n

2,求证：

k 2

[log

k 2

k

n].

证明：构造平面区域D={(x,y)yx n,x 2,y 2},并考虑D中整点的个数：

（1） 如果一列一列的数，x=2

时有个，x

3时有个，…，x

n时有个，

n

故共有 个。

k 2

（2） 如果一行一行的数，y 2时有[log2n]个，y 3时有[log3n]个，…，y n时有

n

[lognn]个，故共有 [logkn]个。

k 2

综合（1）、（2），问题获证。

一般地，设函数y f(x)在[a,b]上连续且非负，则表示平面区域a x b,0 y f(x)的格点数。

特别地，有

（ⅰ）位于三角形：y ax b 0,c x d内的格点个数等于数）。

（ⅱ）设p,q为正奇数，(p,q)

1矩,形域(0,

q2] (0,

p2

]内的格点数等于

a t b

[f(t)]（t为[a,b]内的整数）

0 x d

[ax b]（x为整

0 x

[

q2

pq

x]

0 y

2

[

p2

qp

y]

p 1q 1

。 22

（ⅲ）r 0,圆域x y

r内的格点个数等于1 4[r] 8

22

0 x 。

2

（ⅳ）n 0,区域：x 0,y 0,xy

n内的格点个数等于2

0 xn2

[] 。 x

对于以上结论，可通过画示意图来证明。 例如，位于由直线y

23x

12

0和0 x 10围成的三角形内的格点个数等于

34

x 10

[

2x3

1

212121

] [ 1 ] [ 2 ] [ 10 ] 0 0 1 2 2 3 4 4 5 6 272323232

高斯函数在数列和数论中也有极为广泛的应用，在数列和数论部分可以再得到补充。 二、练习

502

1、计算和式 [

n 0

305n503x

]的值。

12.5

2、求函数f(x) [

12.5x

2x 72x 1

] 3、解方程[。 34

] [ ](0 x 10)的值域。

4、试证对任意实数x，有 [

k 0

x 22

k 1

k

] [x]。

5、求方程[] [

1!

xx2!

] [

x10!

] 1001的整数解。

6

、设

2

,证明：对一切n N,都有[ [ n]] [ n] [ n]。

12

12

2*

7、求所有的实数

，使得] ]对一切正整数n都成立。

n

8、设xi R(i 1,2, ,n).求证： x R使下列不等式成立： {x xk}

k 1

n 12

。

9、若对任何整数n,a,b,c都满足[na] [nb] [nc]。 证明：a,b,c中至少有一个是整数。

10、证明：对任意正整数n

都有}

11、证明 R,使得对 n N,[ ]与n的奇偶性相同，并给出一个如此的正实数。 12、在数列{an}中，a

1是正整数，且an 1 [an

45

。试求出所有的a1使得

**N

当n 2时有an 1(mod10)。