第1章 矩阵运算与矩阵分解_3

矩阵论与数值分析

第一章矩阵运算与矩阵分解

矩阵论与数值分析

§第1.3 1章矩阵的特征值与特征向量矩阵的相似变换§1.3.1特征值与特征向量§1.3.2特征值的估计§1.3.3幂法

矩阵论与数值分析

一、特征值与特征向量

1、定义定义1

设A Cn n,若存在数 C和x Cn, x 0使得 Ax x则称 是A的特征值，x称为A属于 的特征向量。

矩阵论与数值分析

2、特征多项式定义2

设A Cn n,称 I n A为A的特征矩阵，称det I n A 为A的特征多项式,称det I n A 0为A的特征方程。Remarks

1 A的特征值就是A的特征方程的根； 2 n阶方阵A在复数范围内一定有n个特征值。

矩阵论与数值分析

3、特征值与特征向量的求法

设A Cn n

1 求 det I n A 0的n个根 1, 2, , n,它们即为A的全部特征值；

2 求解齐次方程组 i I n A x 0,其非零解向量即为A的对应特征值 i的特征向量；

矩阵论与数值分析

例1

1 2 2 设A 2 2 4 ,求A的特征值与特征向量 2 4 2 解

A的特征多项式为

1det I A 2 2

2

2 4 2 7 22

2 4

矩阵论与数值分析

所以A的特征值为 1 2 2, 3 7.当 1 2 2时，解方程组 2 I A x 0.由 2 2 1 2 2 1 2 I A 2 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0 2 2 得基础解系 x1 1 , x2 0 0 1

矩阵论与数值分析

所以对应 1 2 2的全部特征向量为 k1 x1 k2 x2,其中k1, k2不同时为0.当 3 7时，解方程组 7 I A x 0.由

8 2 2 1 0 0.5 7 I A 2 5 4 0 1 1 2 4 5 0 0 0 1 得基础解系 x3 2 ,故对应 3 7的全部特征向量为 2 k3 x3,k3 0.

矩阵论与数值分析

4、特征值与特征向量的性质

设A aij

n n

Cn n,称 a11 a22 ann为A的迹，记为的特征值为 1, 2, , n,则

trA,即trA a11 a22 ann .设n阶方阵A aij

1 1+ 2+ + n a11 a22 ann=trA; 2 1 2 n det A; , n,而AH的特征值是 3 AT的特征值是 1, 2, 1, 2, , n

n n

矩阵论与数值分析

§2.2矩阵的相似对角化一、矩阵的相似

1、定义定义1

设A, B Cn n,若存在可逆

矩阵P Cn n使得 P AP B则称A与B相似，记为A~ B. 1

矩阵论与数值分析

2、性质定理1

设A, B, C Cn n,则

1 A~ A; 2 若A~ B,则B~ A; 3 若A~ B, B~ C,则A~ C.

矩阵论与数值分析

定理2

设A, B Cn n,A~ B, f 是一多项式，则

1 rank A rank B ; 2 det I A det I B ,即A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值;

3 f A ~ f B .Proof of(2) 1

A~ B, 可逆阵P使得 P AP B,

矩阵论与数值分析

因此

I B I P AP P 1

1

I A P

P 1 I A P I A .

矩阵论与数值分析

二、相似对角化 1、定义设A Cn n,若A与一个对角矩阵相似，则称A可对角化.2、相似对角化的条件定理3

设A Cn n,则A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.推论1设A Cn n,如果A有n个不同的特征值，则A可对角化.

矩阵论与数值分析

Example 2

Whether the following matrices are similar to a digonal matrix, if yes, find a nonsingular matrix P such that P 1 AP 1 1 0 1 A 4 3 0 ; 1 0 2 Solution

2 1 1 2 A 2 3 4 1 1 2

矩阵论与数值分析

1 and

E A 1 2 1 2 1, 3 22

2 1 0 row elementary operations 2 1 0 E A 4 2 0 1 0 1 . 1 0 1 0 0 0 r E A 2,thus the dimension of eigenspace V 1 3 r E A 1 multiplicity 2 of the eigenvaule 1. Therefore A is not diagonalizable.

矩阵论与数值分析

2

E A 1 1 3 1 1, 2 1, 3 3,

thus, A is diagonalizable.

For 1 1, sovle the equation E A x 0, 1 1 1 1 1 1 E A 2 2 4 0 0 2 , that is 1 1 3 0 0 0

x1 x2 x3 0 2 x3 0

矩阵论与数值分析

1 from which we obtain an eigenvector 1 1 of 1 1. 0 0 Similarly, for 2 1, we have an eigenvector 2 1 . 2 for 3 3, we have an eigenvector 3 3 . 1

1

1 Let P 1

0 1

2 3 , then P 1 AP diag{1, 1,3}.

矩阵论与数值分析