3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

3.2

同角三角函数的基本 关系与诱导公式

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

基础梳理

考点突破

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

基础梳理知识整合

抓主干

固双基

1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系 sin2 α +cos2 α =1; (2)商数关系

sin tan α = . cos

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

2.诱导公式组序 角 正弦 余弦 正切 口诀 记忆 规律 一 2kπ + α (k ∈ Z) sin α cos α tan α -sin α -cos α tan α -sin α cos α -tan α sin α -cos α -tan α 函数名改变 符号看象限 π +α -α π -α 二 三 四 五 六

π 2

-α

π 2

+α

cos α sin α

cos α -sin α

函数名不变 符号看象限 奇变偶不变, 符号看象限

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

双基自测1.(2013 年高考大纲全国卷)已知α 是第二象限角,

5 sin α = ,则 cos α 等于( A ) 13 12 (A)13 5 (B)13 5 (C) 13 12 (D) 13

解析:因α是第二象限角,所以 cos α<0.

12 由同角三角函数关系式知 cos α=- 1 sin =. 132

故选 A.

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

5π 1 2.(2013 年高考广东卷)已知 sin( +α )= ,那 2 5么 cos α 等于( C )

2 (A)5

1 (B)5

1 (C) 5

2 (D) 5

5π π 解析:∵sin( +α)=sin( +α)=cos α, 2 2

1 ∴cos α= .故选 C. 5

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

π sin cos( π ) 2 3.已知 tan θ =2,则 = π sin sin( π ) 2

.

cos cos 2cos 解析:原式= = cos sin cos sin 2 2 = = =-2. 1 tan 1 2答案:-2

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

4.在△ABC 中,已知 2cos A-3cos(B+C)=2,则 A= 解析:由 2cos2A-3cos(B+C)=2, 得 2cos2A-3cos(π-A)=2, 即 2cos A+3cos A-2=0,2

2

.

1 得 cos A= 或 cos A=-2(舍去), 2

π 则在△ABC 中,A= . 3 π 答案: 3

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

考点突破考点一 同角三角函数的基本关系2

剖典例 知规律2

【例 1】 (1)已知 tan α =2,则 4sin α -3sin α cos α -5cos α =

.

m 3 4 2m (2)(2013 辽宁五校第二次联考)已知 sin x= ,cos x= ,且 m 5 m 53π x∈( ,2π ),则 tan x= 22

.2 2

思维导引:(1)将所求式子的分母看成“1”,再转化为 sin α+cos α,然后分子 和分母再同时除以 cos α就转化成关于 tan α的式子,然后将 tan α=2 代入求 值;(2)由 sin2x+cos2x=1 得 m 的值,从而得出 sin x,cos x 和 tan x 的值.

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

解析:(1)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α=

4sin 2 3sin cos 5cos2 4 tan 2 3tan 5 = 2 2 sin cos tan 2 14 22 3 2 5 = =1. 2 2 1(2)由 sin x+cos x=1,2 2

m 3 2 4 2m 2 即( ) +( ) =1, m 5 m 5得 m=0 或 m=8,

3π ∵x∈( ,2π), 2

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

∴sin x<0,cos x>0,

3 3 4 当 m=0 时,sin x=- ,cos x= ,此时 tan x=- ; 4 5 5

5 12 当 m=8 时,sin x= ,cos x=- (舍去), 13 133 综上,tan x=- . 4 3 答案:(1)1 (2)4

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

反思归纳

(1)利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角α的正

sin 弦、余弦的互化,利用 =tan α可以实现角α的弦切 cos 互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α+cos α, sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用 (sin α±cos α) =1±2sin αcos α,可以知一求二.2

π π (3)巧

用“1”的变换:1=sin α+cos α=tan =sin 4 22 2

=cos 0 等.

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

即时突破 1 (1)(2013 广东六校联考)若角α 的终边落在第三象限,则 为( (A)3 ) (B)-3 (C)1 (D)-1cos 1 sin 2

+

2sin 1 cos 2

的值

1 (2)若 sin α +cos α = ,α ∈(0,π ),则 sin α 5

-cos α 的值为

.

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

解析:(1)∵角α的终边落在第三象限, ∴sin α<0,cos α<0,

cos 2sin ∴ + = + = 2 2 sin 1 sin 1 cos cos cos 2sin + =-1-2=-3.故选 B. cos sin

cos

2sin

1 1 2 (2)法一 由 sin α+cos α= ,得(sin α+cos α) = , 5 25 12 ∴sin αcos α=- ,∵α∈(0,π),∴sin α>0, 25

cos α<0,∴sin α-cos α>0,

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

∴sin α-cos α=

sin cos

2

7 = 1 2sin cos = . 5

法二 ∵α∈(0,π),4 1 sin , sin cos , 5 ∴由 5 得 3 2 2 sin cos 1 cos . 5 4 3 7 ∴sin α-cos α= - = . 5 5 5

答案:(1)B (2)

7 5

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考点二

诱导公式

【例 2】 (1)(2013 哈师大附中模拟)设 tan(π +α )=2,则

sin π cos π sin π+ cos π (C)1

等于(

)

1 (A)3 (B) 3

(D)-1

3 (2)已知π <α <2π ,cos(α -7π )=- ,求 sin(3π +α ) 57 ·tan(α - π )的值. 2

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

思维导引:先利用诱导公式化简,再由同角三角函数 基本关系计算. 解析:(1)由 tan(π+α)=2,得 tan α=2,

sin cos 故 = sin π+ cos π sin cos

sin π cos π

sin cos tan 1 = = =3. sin cos tan 1故选 A.

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

(2)∵cos(α-7π)=cos(7π-α)=cos(π-α)

3 =-cos α=- , 5 3 ∴cos α= . 5

7 ∴sin(3π+α)·tan π 2 7 =sin(π+α)· tan π 2

3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

π sin π 2 =sin α·tan =sin α· π 2 cos 2

cos =sin α · sin =cos α

3 = . 5