03-数列极限的性质及收敛准则

高等院校非数学类本科数学课程

大 学 数 学(一)—— 一元微积分学第三讲 数列极限的性质与收敛准则

三、数列极限的性质1.唯一性定理若数列{ xn }收敛, 则其极限值必唯一.

证 运用反证法设数列{ xn }收敛, 但其极限不唯一, 不妨设有：n

lim xn a,

n

lim xn b, a b.

于是, 0, N1 0, 当 n N1 时 , | xn a | ; N 2 0, 当 n N 2 时 , | xn b | ;取 N max{N1 , N 2 }, 则当 n N 时,任 意 性

| a b | | a xn xn b | | xn a | | xn b | 2 常 数

由 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b . 5

回想数列的极限n

lim xn a : 0, N 0, 当n N 时, 有

| xn a |

| xn | | a | | xn a | | xn | | a | 如果固定 , 则似乎可以得到

{xn } 有界的结论 ?6

2.有界性定理若数列{ xn }收敛, 则{ xn }必有界.

证 设 lim xn a , 则由极限定义, 取 1 时, n N 0, 当 n N 时 ,

| xn a | 1即有

| xn | 1 | a || xn | M , n N

该定理的逆命题 不真, 即有界数列不 一定收敛. 例如, { (-1) n }.

取 M max{ 1 | a | , | x1 |, | x2 |, , | xN |}则

由数列有界的定义得：数列{ xn }收敛, 则必有界.7

有界性定理的推论：无界数列必发散.

即 无界数列的极限不存在 .

例1

{2n } : 2, 4, 8, , 2n , 无界 , 发散 , 无极限

{ n (1 ( 1)n ) } :

0, 4, 0, 8,

无界 , 发散 , 无极限发散的数列不一定都无界 . 例如, { (-1) n } .

收敛的数列必有界.

有界的数列不一定收敛.无界的数列必发散 .

发散的数列不一定无界.反例 : xn ( 1) .n

回想数列的极限n

lim xn a :| xn a |

n

lim yn b :

0, N 0, 当 n N 时, 有 xn a a xn a xn yn a b 2 b yn b

即

由此, 你认为可能得到什么结 论?11

3.保序性定理若 lim xn a, lim yn b, 且a b , 则 N 0,n n

当 n N 时, 有 xn yn .

推论1:若 lim xn a b , 则 N 0, 当n N时, 有xn b.n

推论2:若 lim xn a, lim yn b , 若 N 0, 当n N时,n n

有xn yn . 则必有a b.

推论3:若 lim xn a, 若 N 0, 当n N时,n

有xn b. 则必有a b.13

定理4 夹逼定理设数列 { xn}, { yn}, { zn} 满足下列关系: (1) yn xn zn , n Z+ (或从某一项开始) ; (2) lim yn lim zn a,n n

则 lim xn an

想想：如何证明夹逼定理? 14

因为 lim yn lim zn

a, 所以n n

0, N1 0, 当 n N1 时, | yn a | , 0, N 2 0, 当 n N 2 时, | zn a | ,取 N max{N1, N 2}, 则当 n N 时, 有

| yn a | ,

| zn a | . (n N )

已知 yn xn zn n Z (或从某一项开始 ), 故有a yn xn zn a 即当 n N 时, 有 xn a , 由极限定义得n

lim xn a.15

例2

1 1 1 求 lim 2 2 2 . n n 1 n 2 n n

解 由于n n n2

1 n 12

1 n 22

1 n n2

n n2 1

而

n

lim

n n 1 1 , lim 2 2 n n 1 n n

想得通吧？

1 1 1 故 lim 2 2 2 1 n n 1 n 2 n n

而

n

lim

n n 1 1 , lim 2 2 n n 1 n nn

想得通吧？

limn

n n 12

1n2 1 n n 12

0,

n 12

1

1 ( n 2 1 n) n 2 1

1 n17

例3

n! 求 lim n , n Z . n n n! 1 2 3 n 1 n 1 由于 0 n , n n n n n n n 1 而 lim 0, n n n! 故 lim n 0. n nn

解

lim 0 0,

2 3 n 1 , , , 均小于 1. n n n

猜想

n

n 的极限并证明之.